BMETEAGBsMBALG-00

Nyomtatóbarát változatNyomtatóbarát változat
Tantárgy azonosító adatok
A tárgy címe: 
Bevezetés az algebrába
A tárgy angol címe: 
Introducion to Algebra
A tárgy rövid címe: 
BevezetésAzAlgebrába
4
4
0
v
Kredit: 
8
Ajánlott/Kötelező előtanulmányi rend
1.Követelménytárgy kódja: 
Vektor és mátrixalgebra matematikusoknak
1.Követelménytárgy (rövidített) címe: 
Vektor és mátrixalgebra matematikusoknak
A tantárgy felelős tanszéke: 
Algebra és Geometria Tanszék
A tantárgy felelős oktatója: 
Dr. Hegedüs Pál
A tantárgy felelős oktatójának beosztása: 
egyetemi docens
Akkreditációs adatok
Akkreditációra benyújtás időpontja: 
2024.04.18.
Akkreditációs bizottság döntési időpontja: 
2024.05.15.
Tematika
A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: 
Vektor és mátrixalgebra ismerete
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában: 
TTK Matematika BSc angol nyelvű képzés kötelező tárgya
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul: 

Az egész számok matematikája: oszthatóság, maradékos osztás, legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, felbonthatatlan számok és prímszámok, a számelmélet alaptétele. Lineáris diofantikus egyenletek, moduláris aritmetika, teljes és redukált maradékrendszerek, lineáris kongruenciák megoldása. Prímelemű testek. Polinomok irreducibilitása és egyértelmű faktorizáció. Schönemann–Eisenstein-kritérium. Többváltozós polinomok, teljes és elemi szimmetrikus polinomok, gyökök és együtthatók közti összefüggések.

Cayley-Hamilton tétel. Bilineáris formák, szimmetrikus és szimplektikus bilineáris függvények. Sztenderd alak, szignatúra, főtengelytétel. Kvadratikus alakok definitsége. Lokális szélsőértékek osztályozása, geometriai alkalmazások és szemléltetés. Unitér és normális mátrixok, komplex spektráltétel. Polárfelbontás, az SVD alkalmazásai, általánosított inverz és tulajdonságai. Mátrixok normálformái, létezés, egyértelműség és kiszámítás, általánosított sajátvektorok, Jordan-lánc és Jordan-bázis. Valós és komplex vektorok normái, mátrixnormák, alaptulajdonságok és kiszámítás, mátrixok függvényei (konvergencia csak említés és illusztráció szintjén), mátrixok exponenciális függvényei. Vektorterek tetszőleges test felett. Bázis létezése, dimenzió, végtelen dimenziós példák (függvényterek, stb.), vektorterek izomorfiája. Euklideszi tér fogalma, tulajdonságai, izomorfiája. Duális tér. Véges test feletti vektorterek kódelméleti, kriptográfiai, kombinatorikai alkalmazásai.
 

The mathematics of integers: divisibility, division with remainder, greatest common divisor, Euclidean algorithm, irreducible and prime numbers, the fundamental theorem of number theory. Linear Diophantine equations, modular arithmetic, complete and reduced residue systems, solving linear congruences. Fields of prime order. Irreducibility of polynomials and unique factorization. Schönemann-Eisenstein criterion. Multivariate polynomials, complete and elementary symmetric polynomials, relations between roots and coefficients.

Cayley-Hamilton theorem. Bilinear forms, symmetric and symplectic bilinear functions. Standard form, signature, principal axis theorem. Quadratic forms. Classification of local extrema, geometric applications and illustration. Unitary and normal matrices, complex spectral theorem. Polar decomposition, applications of SVD, pseudoinverse and its properties. Normal forms of matrices, existence, uniqueness and computation, generalized eigenvectors, Jordan chain and Jordan basis. Norms of real and complex vectors, matrix norms, basic properties and computation, functions of matrices (convergence only mentioned and illustrated), exponential functions of matrices. Vector spaces over arbitrary fields. Existence of basis, dimension, infinite dimensional examples (function spaces, etc.), isomorphism of vector spaces. Notion, properties, isomorphism of Euclidean space. Dual space. Applications of vector spaces over a finite field in coding theory, cryptography, combinatorics.

Követelmények szorgalmi időszakban: 
Zárthelyi dolgozatok teljesítése, rendszeres házi feladatmegoldás.
Követelmények vizsgaidőszakban: 
Írásbeli, illetve szóbeli vizsga.
Pótlási lehetőségek: 
A TVSZ szerint.
Konzultációs lehetőségek: 
Az oktatóval, gyakorlatvezetővel egyeztetve.
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom: 
S Roman: Advanced Linear Algebra. Springer 2008.
R. Irving: Integers, Polynomials, and Rings - A Course in Algebra. Springer 2004.
A tárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
Kontakt óra: 
112
Félévközi felkészülés órákra: 
28
Felkészülés zárthelyire: 
24
Zárthelyik megírása: 
4
Házi feladat elkészítése: 
32
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló): 
0
Egyéb elfoglaltság: 
0
Vizsgafelkészülés: 
40
Összesen: 
240
Ellenőrző adat: 
240
A tárgy tematikáját kidolgozta
Név: 
Dr. Hegedüs Pál
Beosztás: 
egyetemi docens
Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.): 
Algebra és Geometria Tanszék
A tanszékvezető neve: 
Dr. G. Horváth Ákos