Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE94MM11
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe A klasszikus mezőelméletek geometriája
2. A tárgy angol címe Geometry of Classical Field Theories
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 0 + 0 f Kredit 2
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Geometria Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Etesi Gábor beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2013.04.03. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2013.04.26.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
Differenciálgeometria
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Alkalmazott matematikus MSc szak Alkalmazott analízis szakirányának kötelező tárgya
11. A tárgy részletes tematikája
(i) Klasszikus elektrodinamika: a Maxwell-egyenletek formás alakja; a vektorpotenciál bevezethetősége kohomologikus szempontból; mérce- transzformáció; az elektrodinamika reprezentációja spinor-mezőkön; a Diracegyenlet; mágneses monopólusok az elektrodinamikában: a Dirac-féle töltéskvantálás. (ii) A Riemann-geometria elemei: differenciálható sokaságok feletti vektornyalábok definíciója, példák; kovariáns deriválás (konnexió, párhuzamos eltolás) vektornyalábokon; a görbületi tenzor előállítása a párhuzamos eltolás sorfejtése segítségével; a Riemann görbületi tenzor és annak szimmetriái. (iii) Az általános relativitás-elmélet elemei: az SO(4) csoport véges dimenziós komplex reprezentációinak osztályozása; a Riemann görbületi tenzor invariáns dekompozíciója: a skalárgörbület, a nyomtalan Ricci-tenzor és aWeyl-tenzorok bevezetése; a vákuum Einstein-egyenlet (e fogalmak áttekintése Lorentz-esetben is); (iv) A Yang–Mills-elmélet elemei: A Yang–Mills-egyenletek; (anti)önduális konnexiók (insztantonok) fogalma, Atiyah, Hitchin, Singer tételei. (v) Komplex- és majdnem komplex sokaságok: definíciója, holomorf vektornyalábok; tenzorok felbontása majdnem komplex sokaságok felett; a majdnem komplex-sokaságok integrálhatóságára vonatkozó Newlander–Nirenberg-tétel kimondása. (vi) A tvisztor-tér fogalma: egy négydimenziós irányított Riemann-sokaság tvisztor-tere; ezen kanonikus majdnem komplex struktúra előállítása; a majdnem komplex struktúra integrálható, ha a Riemann-sokaság félig konformálisan lapos (Penrose, Atiyah–Hitchin–Singer); példák tvisztorterekre: a kerek S4 tvisztor-tere CP3 és ennek csodálatos geometriája. Az ADHM-konstrukció: az (anti)öndualitási-egyenletek megoldása tvisztor-terekkel.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 2 zárthelyi dolgozat teljesítése vizsga-
időszakban		 —
13. Pótlási lehetőségek
A TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
Az előadóval egyeztetve
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Fizika és geometria (Fizikus-matematikus nyári iskola, Óbánya, 1997) Szerk.: Barnaföldi G., Rimányi R., Matolcsi, T., MAFIHE, Budapest (1999)
R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1991)
R.M. Wald: General relativity, University of Chicago press, Chicago (1984)
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
28
16.2 Félévközi felkészülés órákra
28
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
0
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
0
16.9 Összesen
60
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
60
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Etesi Gábor
egyetemi docens
Geometria Tanszék
Dr. Szabó Szilárd
egyetemi adjunktus
Geometria Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. G. Horváth Ákos