Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE95AM09
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Sztochasztikus folyamatok
2. A tárgy angol címe Stochastic Processes
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 2 + 0 v Kredit 6
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM07 Valszám3
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Tóth Bálint beosztása egyetemi tanár
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2006.02.08. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2006.10.18.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
haladó valószínűségszámítás, haladó analízis, funkcionálanalízis
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK matematika (BSc) képzés Elméleti szakirányának kötelező tárgya
11. A tárgy részletes tematikája
1. ALAPFOGALMAK: sztochasztikus folyamat; véges dimenziós peremeloszlások; Kolmogorov alaptétel; stacionárius, stacionárius növekményű, független növekményű folyamatok. 2. ISMÉTLÉS VALSZÁM 3 C. TÁRGY ANYAGÁBÓL: véges és megszámlálható Markov láncok elméletének alapjai. 3. BOLYONGASOK Z^1-EN: tükrözési elv és a maximum határeloszlása; differenciaegyenletek valószínűségszámítási jelentése; kapcsolat parabolikus es elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. 4. FOLYTONOS IDEJŰ, DISZKRÉT ÁLLAPOTTERŰ MARKOV FOLYAMATOK: a Poisson folyamat; folytonos idejű, diszkrét állapotterű Markov láncok fenomenologikus leírása: ugrási ráták, exponenciális órák; átmetet valószínűségek mátrixának félcsoportja: Kolmogorov-Chapman egyenlet, infinitezimális generátor; véges állapottér: konkrét példák; megszámlálható állapottér: születési-halálozási és sorbanállási folyamatok, tranziencia, null-rekurrencia, pozitív rekurrencia jellemzése. 5. MÉRTÉKELMÉLETI KIEGÉSZíTéSEK: filtrációk, adaptált folyamatok, természetes filtráció; feltételes valószínűség: létezés és egyértelműség (Kolmogorov tétele), alaptulajdonságok. 7. DISZKRÉT IDEJŰ MARTINGÁLOK: martingál, szubmartingál, szupermartingál, konkrét példák; megállási idő; megállított martingál, Doob tétele; martingál konvergencia tétel; szubmatringál egyenlőtlenség; Azuma-Höffding egyenlőtlenség, következmények. 8. A BROWN MOZGÁS: definiáló tulajdonságok; kovarianciastruktúra; P. Lévy konstrukciója; néhány alaptuajdonság: folytonos de sehol sem differenciálható trajektóriák, tükrözési elv, önhasonlóság (self-similarity), skála-invariancia, szinthalmazok fraktális szerkezete; nehany alkalmazás. 9. DIFFÚZIÓK: Brown mozgás kapcsolata a hővezetés egyenletével; diffúziós félcsoportok infinitezimális tulajdonságai: lokális struktúra: lokális drift és diszperzió; a diffúziós egyenlet: parabolikus parciális differenciálegyenlet; infinitezimális generátor; konkrt példák: standard, sodródó és tükrözött Brown mozgás, Ornstein-Uhlenbeck Bessel, stb.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 házi feladatok heti rendszerességgel, ZH1, ZH2 vizsga-
időszakban		 vizsga
13. Pótlási lehetőségek
be nem nyújtott házifeladatok utólag NEM pótolhatók, pót ZH lehetőség a félév végén, gyak IV a vizsgaidőszak elején
14. Konzultációs lehetőségek
ZH-k előtt külön konzultáció
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó 1972
Richard Durrett: Probability Theory with Examples.
David Williams: Probability with Martingales. Cambridge Univ. Press. az előadó jegyzetei
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
30
16.3 Felkészülés zárthelyire
20
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
30
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
10
16.8 Vizsgafelkészülés
30
16.9 Összesen
180
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
180
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Tóth Bálint
egyetemi tanár
Matematika Intézet
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Tóth Bálint