Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE92AM56
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Analízis 2
2. A tárgy angol címe Analysis 2
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 2 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE92AM55 Analízis 1
4.2 BMETE92AM38 Analízis 1
4.3
5. Kizáró tantárgyak
Analízis 2 (BMETE92AM39)
6. A tantárgy felelős tanszéke Analízis Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Andai Attila beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2021.04.30. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2021.05.12
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
egyváltozós differenciál- és integrálszámítás, metrikus terek
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika (BSc) képzés szakirányain kötelező tárgy.
11. A tárgy részletes tematikája

Mérték és mérhetőség. Szigma-algebra és mérték definíciója, mérhető tér, mértéktér. Halmazrendszer által generált szigma-algebra. Külső mérték, Caratheodory tétele. Lebesgue-mérték, Lebesgue–Stieltjes-mérték. Véges, szigma-véges valószínűségi mérték. Teljes mérték. Mérhető függvény, mérhető függvények összege, szorzata, maximuma, minimuma, reciproka, mérhető függvények sorozatának limesze. Metrikus tér Borel-halmazai, Borel-mérhetőség. Lebesgue-mérhetőség. Nem mérhető halmaz létezése.

Integrálás mértéktérben. Definíció, alaptulajdonságok. Függvénysorozat és integrálás felcserélhetősége: Beppo–Levi-tétel, Fatou-lemma, Lebesgue dominált konvergencia-tétele. A számegyenesen: Newton–Leibniz formula, parciális integrálás, helyettesítéses integrálás Lebesgue(-Stieltjes) mérték szerint. Mértékterek szorzata, Fubini tétel. Paraméteres integrálok. Lp-terek tulajdonságai, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség. Konvolúció.

Fourier-sorfejtés. Integrálható függvény Fourier-együtthatóinak konvergenciája. Fourier-sor részletösszegei, Dirichlet-magfüggvény. Dirichlet tétele integrálható függvény Fourier-sorának konvergenciájáról. Cesáro-összegezhető sorok. Fejér tétele folytonos függvény Fourier-soráról, Fejér-mag.

Fourier-transzformáció. Schwartz-tér, Fourier-transzformáció a Schwartz-térben, az L1 és az L2 terekben.

 

Measures and measurability. Sigma algebras, definition of measure, measurable space, measure space. Sigma algebra generated by a set system. Outer measures, Caratheodory extension theorem. Lebesgue measure, Lebesgue-Stieltjes measures. Finite, sigma-finite,  and probability measures. Complete measures. Measurable functions, and their sum, product, maximum, minimum, reciprocal, and limit of sequences. Borel sets of metric spaces, Borel measurability, Lebesgue measurability. Existence of non-Lebesgue-measurable sets.

Integration in measure spaces. Definition and basic properties of the integral. Interchanging the limit and integration: Beppo–Levi theorem, Fatou-lemma, Lebesgue dominated convergence theorem. Integration with respect to Lebesgue–Stieltjes measures, integration by parts, integration by substitution, Newton–Leibniz formula. Product of measure spaces, Fubini theorem. Parametric integrals. Lp spcaes, basic properties, Holder and Minkowski inequalities. Convolution.

Fourier series. Convergence of the Fourier coefficients of integrable functions. Partial sums of Fourier series, Dirichlet kernel. Dirichlet theorem on the convergence of Fourier series of integrable functions. Cesaro-summable series. Fejer theorem for the Fourier series of continuous functions, Fejer kernel.

Fourier transform. Schwartz space, Fourier transform on the Schwartz space, on L1 and L2.

 
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Házi feladatok megoldása, zárthelyik és röpzh-k teljesítése, órákon való részvétel. vizsga-
időszakban		 vizsgajegy a szóbeli és írásbeli vizsga és a félévközi teljesítmény alapján
13. Pótlási lehetőségek
TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
TVSZ szerint
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Járai Antal: Mérték és integrál
W. Rudin: Real and complex analysis
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
10
16.3 Felkészülés zárthelyire
10
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
35
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
35
16.9 Összesen
150
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Pitrik József
egyetemi docens
Analízis Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Matolcsi Máté