Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar |
Tantárgy Adatlap |
Tantárgy kód | BMETE92AP61 |
Tantárgy azonosító adatok | |||||||||
1. | A tárgy címe | Kalkulus | |||||||
2. | A tárgy angol címe | Calculus |
3. | Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa | 4 | + | 2 | + | 0 | v | Kredit | 8 |
4. | Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend | ||||||||
vagy | Tantárgy kód 1 | Rövid cím 1 | Tantárgy kód 2 | Rövid cím 2 | Tantárgy kód 3 | Rövid cím 3 | |||
4.1 | |||||||||
4.2 | |||||||||
4.3 | |||||||||
5. | Kizáró tantárgyak | ||||||||
6. | A tantárgy felelős tanszéke | Analízis Tanszék | |||||||
7. | A tantárgy felelős oktatója | Dr. Matolcsi Máté | beosztása | egyetemi tanár |
Akkreditációs adatok | ||||
8. | Akkreditációra benyújtás időpontja | 2023.03,01. | Akkreditációs bizottság döntési időpontja | 2023.03.24. |
Tematika | |||||||||
9. | A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít | ||||||||
Középiskolai matematika ismeretek |
|||||||||
10. | A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható) | ||||||||
TTK Fizikus-mérnök BSc képzés kötelező tárgya |
|||||||||
11. | A tárgy részletes tematikája | ||||||||
Halmazelméleti alapok: logikai jelek, igazságtábla, állítások negálása, indirekt bizonyítás, halmazműveletek. Valós számok, komplex számok: alapműveletek, rendezés, törtrész, Bernoulli egyenlőtlenség, binomiális tétel, abszolút érték, háromszög-egyenlőtlenség. Teljes indukció, számtani és mértani közép, komplex számok aritmetikája. A számegyenes topológiája: nyílt, zárt, korlátos halmaz, belső, külső, határpont, halmaz lezártja, belseje, sűrű halmaz, kompakt halmaz, Cantor-féle közösrész-tétel, Borel-Lebesgue tétel (esetleg biz. nélkül). Sorozatok: határérték. Monoton sorozatok, Részsorozat, torlódási pont. Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel, Bolzano-Weierstrass tétel. Liminf, limsup. Cauchy kritérium. Nevezetes határértékek. Numerikus sorok: Sor konvergenciája, részletösszeg. Cauchy-kritérium. Majoráns és minoráns, gyök-, hányadoskritérium. Leibniz-sor. Abszolút és feltételes konvergencia. Cauchy-szorzat. Mertens tétel, Abel-átrendezés. Elemi függvények (exp, log, sin, cos, sh, ch) definíciója, alapvető azonosságok
Valós függvények: páros, páratlan, monoton, periodikus függvény. Konvex, konkáv függvény, Jensen-egyenlőtlenség. Határérték, féloldali határérték. Folytonosság. Átviteli elv. Folytonos függvények tulajdonságai, topologikus jellemzésük, Bolzano tétel. Kompakt halmaz folytonos képe kompakt, Weierstrass-féle min-max elv, egyenletes folytonosság, Heine tétele. A differenciálszámítás alapjai: Derivált, kapcsolat a folytonossággal. Összeg, szorzat, hányados, kompozíció deriválása. Lokális szélsőérték, jellemzése deriválással. Középértéktételek: Rolle, Lagrange, Cauchy. L’Hospital-szabály. A derivált Darboux-tulajdonsága. Többszörös differenciálhatóság, Taylor-polinomok, Taylor-sor. Nevezetes Taylor sorok. Konvex és konkáv függvények, és jellemzésük deriválással. Differenciálható konvex függvény folytonosan differenciálható. Jensen egyenlőtlenség, közepek közötti egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz és Hölder-egyenlőtlenség. Függvényvizsgálat. Határozatlan integral: definíció, elemi határozatlan integrálok. Parciális és helyettesítéses integrálás. Parciális törtekre bontás, racionális törtfüggvények integrálása, trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása. Határozott (Riemann-) integrál: felosztás, alsó és felső közelítő összeg, oszcillációs összeg, alsó és felső integrál. Riemann integrálhatóság, integrálható függvények összege, szorzata. Newton-Leibniz formula. Integrálfüggvény. Folytonos illetve monoton függvény integrálhatósága. Integrál alkalmazásai, improprius integrálás: ívhossz, terület, forgástest térfogata, forgásfelszín, súlypont. Improprius integrálás, majoráns- és minoránskritérium.
Set theoretical basis: logical symbols, truth tables, negation of statements, proof by contradiction, set theoretical operations. Real numbers, complex numbers: basic arithmetical operations, ordering, frac-tional parts, Bernoulli inequality, binomial theorem, absolute value, triangle inequality, mathematical induction, arithmetic of complex numbers, arithmetic-geometric mean inequality. Topology of the real line: open sets, closed sets, bounded sets, interior, exterior, boundary, closure of a set, dense sets, com-pact sets, Cantor intersection theorem, Borel-Lebesgue theorem (possibly without proof). Sequences: the notion of limit. Monotone sequences, subsequences, accumulation points, Bolzano-Weierstrass the-orems. Liminf, limsup. Cauchy criterion. Limit of specific well-known sequences. Numeric series: con-vergence of a series, partial sums, Cauchy criterion. Majorant criterion, ratio criterion, root criterion. Leibniz-type series. Absolute and conditional convergence. Cauchy product. Mertens theorem, Abel rearrangement. Elementary functions (exp, log, sin, cos, sh, ch) and their identities.
Real functions: Notion of even, odd monotone, periodic functions. Convex, concave functions, Jensen-inequality. Limits, one-sided limits, continuity, transference principle. Properties of continuous functi-ons: topological characterization, Bolzano theorem. Continuous image of compact set is compact, Weierstrass min-max principle, uniform continuity, Heine theorem. Differentiation: notion of the derivative, its relation to continuity. Derivative of sums, products, quotients, chain rule. Local maxima and minima, and their connection to derivatives. Mean value theorems: Rolle, Cauchy. L’Hospital rule. Darboux property of the derivative. Higher order derivatives, Taylor polynomials, Taylor series. Spe-cific Taylor series of well-known functions. Convex and concave functions and their connection to second derivatives. Derivative of a convex differentiable function is continuous. Jensen inequality, inequality of various means, Cauchy-Schwarz, Holder inequalities. Plotting functions by analysis of derivatives.
Indefinite integrals: definition, and elementary integrals. Integration by parts, and by substitution. Partial fraction decomposition, integration of rational functions. Integration of trigonometric, hyper-bolic functions. Definite (Riemann) integrals: Riemann approximation sums, oscillation sums, upper and lower integral. Riemann integrability of a function, sum and products of integrable functions. New-ton-Leibniz formula. The integral function. Continuous or monotonic functions are integrable. Applica-tions of the integral, improper integrals: arc-length, area. Volume and surface of a body of rotation. Center of gravity. Improper integrals, majorant and minorant criteria.
|
|||||||||
12. | Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja | ||||||||
szorgalmi időszakban |
Zárthelyi dolgozatok teljesítése | vizsga- időszakban |
Írásbeli és szóbeli vizsga | ||||||
13. | Pótlási lehetőségek | ||||||||
A TVSZ szerint |
|||||||||
14. | Konzultációs lehetőségek | ||||||||
Az oktatóval egyeztetve |
|||||||||
15. | Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom | ||||||||
F.R. Giordano, J. Hass, G.B. Thomas, M.D. Weir: Thomas-féle kalkulus 1, Typotex kiadó, 2011, ISBN: 9789632798332 |
|||||||||
Laczkovich M, T. Sós V.: Valós analízis 1, Typotex kiadó, 2012, ISBN: 978-963-2797-32-8. |
|||||||||
16. | A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva) | ||||||||
16.1 | Kontakt óra | 84 |
|||||||
16.2 | Félévközi felkészülés órákra | 28 |
|||||||
16.3 | Felkészülés zárthelyire | 32 |
|||||||
16.4 | Zárthelyik megírása | 4 |
|||||||
16.5 | Házi feladat elkészítése | 32 |
|||||||
16.6 | Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló) | 0 |
|||||||
16.7 | Egyéb elfoglaltság | 0 |
|||||||
16.8 | Vizsgafelkészülés | 64 |
|||||||
16.9 | Összesen | 244 |
|||||||
17. | Ellenőrző adat | Kredit * 30 | 240 |
A tárgy tematikáját kidolgozta | |||||||||
18. | Név | beosztás | Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.) | ||||||
Dr. Matolcsi Máté |
egyetemi tanár |
Analízis Tanszék |
|||||||
A tanszékvezető | |||||||||
19. | Neve | aláírása | |||||||
Dr. Andai Attila |