Vektor és mátrixalgebra ismerete

TTK Matematika BSc angol nyelvű képzés kötelező tárgya

Az egész számok matematikája: oszthatóság, maradékos osztás, legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, felbonthatatlan számok és prímszámok, a számelmélet alaptétele. Lineáris diofantikus egyenletek, moduláris aritmetika, teljes és redukált maradékrendszerek, lineáris kongruenciák megoldása. Prímelemű testek. Polinomok irreducibilitása és egyértelmű faktorizáció. Schönemann–Eisenstein-kritérium. Többváltozós polinomok, teljes és elemi szimmetrikus polinomok, gyökök és együtthatók közti összefüggések.

Cayley-Hamilton tétel. Bilineáris formák, szimmetrikus és szimplektikus bilineáris függvények. Sztenderd alak, szignatúra, főtengelytétel. Kvadratikus alakok definitsége. Lokális szélsőértékek osztályozása, geometriai alkalmazások és szemléltetés. Unitér és normális mátrixok, komplex spektráltétel. Polárfelbontás, az SVD alkalmazásai, általánosított inverz és tulajdonságai. Mátrixok normálformái, létezés, egyértelműség és kiszámítás, általánosított sajátvektorok, Jordan-lánc és Jordan-bázis. Valós és komplex vektorok normái, mátrixnormák, alaptulajdonságok és kiszámítás, mátrixok függvényei (konvergencia csak említés és illusztráció szintjén), mátrixok exponenciális függvényei. Vektorterek tetszőleges test felett. Bázis létezése, dimenzió, végtelen dimenziós példák (függvényterek, stb.), vektorterek izomorfiája. Euklideszi tér fogalma, tulajdonságai, izomorfiája. Duális tér. Véges test feletti vektorterek kódelméleti, kriptográfiai, kombinatorikai alkalmazásai.
 

The mathematics of integers: divisibility, division with remainder, greatest common divisor, Euclidean algorithm, irreducible and prime numbers, the fundamental theorem of number theory. Linear Diophantine equations, modular arithmetic, complete and reduced residue systems, solving linear congruences. Fields of prime order. Irreducibility of polynomials and unique factorization. Schönemann-Eisenstein criterion. Multivariate polynomials, complete and elementary symmetric polynomials, relations between roots and coefficients.

Cayley-Hamilton theorem. Bilinear forms, symmetric and symplectic bilinear functions. Standard form, signature, principal axis theorem. Quadratic forms. Classification of local extrema, geometric applications and illustration. Unitary and normal matrices, complex spectral theorem. Polar decomposition, applications of SVD, pseudoinverse and its properties. Normal forms of matrices, existence, uniqueness and computation, generalized eigenvectors, Jordan chain and Jordan basis. Norms of real and complex vectors, matrix norms, basic properties and computation, functions of matrices (convergence only mentioned and illustrated), exponential functions of matrices. Vector spaces over arbitrary fields. Existence of basis, dimension, infinite dimensional examples (function spaces, etc.), isomorphism of vector spaces. Notion, properties, isomorphism of Euclidean space. Dual space. Applications of vector spaces over a finite field in coding theory, cryptography, combinatorics.

A TVSZ szerint.

Az oktatóval, gyakorlatvezetővel egyeztetve.

S Roman: Advanced Linear Algebra. Springer 2008.

R. Irving: Integers, Polynomials, and Rings - A Course in Algebra. Springer 2004.

112

28

24

4

32

0

0

40

240

240

Dr. Hegedüs Pál

egyetemi docens

Algebra és Geometria Tanszék

Dr. G. Horváth Ákos