Középiskolában oktatott matematika törzsanyag.

TTK Matematika (BSc) képzés kötelező alaptárgya.

Az egész számok matematikája: oszthatóság, maradékos osztás, legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, felbonthatatlan számok és prímszámok, a számelmélet alaptétele. Lineáris diofantikus egyenletek, moduláris aritmetika, teljes és redukált maradékrendszerek, lineáris kongruenciák megoldása. A komplex számok fogalma, algebrai és trigonometriai alakok, a binomiális tétel, komplex számok kapcs olata a síkgeometriával, egységgyökök és primitív egységgyökök. Egyváltozós polinomok fogalma, műveletek polinomokkal, Horner-elrendezés, racionális gyökteszt, az algebra alaptétele, polinomok irreducibilitása, a Schönemann–Eisenstein-kritérium. Többváltozós polinomok, teljes és elemi szimmetrikus polinomok, gyökök és együtthatók közti összefüggések, harmadfokú polinomok gyökeinek meghatározása.

Lineáris egyenletrendszerek két- és több változóban, sorműveletek, Gauß- és Gauß–Jordan-elimináció. R^n és alterei, lineáris kombináció, függetlenség, generált altér, bázis, dimenzió, koordinátázás. Mátrix, sor-, oszlop- és nulltér, megoldások tere, megoldás a sortérben. Mátrixműveletek, inverz, koordinátacsere mátrixa. Műveletek speciális mátrixokkal, PLU-felbontás, egyenletrendszer megoldása PLU-felbontás segítségével. Determináns mint paralelepipedon térfogata, alapvető tulajdonságok, mátrix determinánsa, permutáció fogalma, transzpozíciók, ciklusok, determináns kifejtése. Laplace-féle kifejtési tétel, determinánsok szorzástétele, mátrix inverze a Cramer-szabállyal. Mátrix rangjának alapvető tulajdonságai. Lineáris leképezések és mátrixuk: altérre való merőleges vetítés mátrixa. Mátrixok hasonlósága. Egyenletrendszer optimális megoldásai, normálegyenlet, egyetlen megoldás a sortérben és annak minimalitása. Moore–Penrose-féle általánosított inverz.

 

The mathematics of integers: divisibility, division with remainder, greatest common divisor, Euclidean algorithm, irreducible and prime numbers, the Fundamental Theorem of Number Theory. Linear Diophantine Equations, modular arithmetic, Integral and Reduced Residue Systems, solving linear congruences. The complex numbers, algebraic and trigonometric forms, the binomial theorem, complex numbers and planar geometry, roots of unity and primitive roots of unity. Univariate polynomials, operations on polynomials, Horner's method, rational roots test, fundamental theorem of algebra, irreducibility of polynomials, Schönemann-Eisenstein criterion. Multivariate polynomials, complete and elementary symmetric polynomials, relations between roots and coefficients.

Systems of linear equations in two and more variables, row operations, Gauss and Gauss-Jordan elimination. R^n and its subspaces, linear combination, independence, generated subspace, base, dimension, coordinate. Matrices, row, column and null space of a matrix, solution space, solution in the row space. Matrix operations, inverse, change of base matrix. Operations with special matrices, PLU decomposition, solving a system of equations using PLU decomposition. Determinant as signed volume of parallelepiped, basic properties, determinant, notion of permutation, transpositions, cycles, determinant expansion. Laplace expansion theorem, multiplication theorem of determinants, inverse of a matrix by Cramer's rule. Basic properties of the rank of a matrix. Linear mappings and their matrices: matrix of perpendicular projection to subspace. Similarity of matrices. Optimal solutions of a system of equations, normal equation, single solution in the rank space and its minimality. Moore-Penrose generalized inverse.

TVSZ szerint

TVSZ szerint

Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó 2000.

Wettl F.: Lineáris algebra. Typotex 2023.

Kiss E.: Bevezetés az algebrába. Typotex 2007

112

28

16

4

42

0

0

38

240

240

Dr. Hegedüs Pál

egyetemi docens

Algebra és Geometria Tanszék

Dr. G. Horváth Ákos