Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETEAOBsMAN2E-00
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Analízis 2e
2. A tárgy angol címe Analysis 2e
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 2 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Analízis és Operációkutatás Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Pitrik József beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2024.04.29. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2024.05.15.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
Elemi ismeretek többváltozós kalkulusból és a normált terek elméletéből.
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika BSc angol nyelvű képzés kötelező tárgya
11. A tárgy részletes tematikája
1. Folytonos lineáris leképezések.
Normált terek között ható lineáris leképezés folytonossága. Az operátornorma és a folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Minden véges dimenziós téren értelmezett lineáris leképezés folytonos. Véges dimenziós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Borel-Lebesgue-tétel véges dimenziós normált térre.
 
2. Függvénysorozatok.
Pontonkénti határfüggvény, illetve pontonkénti összegfüggvény. Függvénysor abszolút konvergenciája. Függvénysorozat és függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Weierstrass tétele (függvénysorok egyenletes konvergenciájáról). Hatványsorok és a Cauchy-Hadamard-tétel. Függvénysorozat tagonkénti integrálhatósága és differenciálhatósága (valós-valós függvényekre). Diagonalizálható mátrix függvénye. Normális mátrix függvénye.
 
3. Fourier-sorfejtés.
Fourier-együtthatók és sorfejtés. Integrálható függvény Fourier-együtthatóinak konvergenciája. Kétszer folytonosan differencilható függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez.
 
4. Komplex függvénytan.
Komplex függvény differenciálhatósága és deriváltja. Cauchy-Riemann-egyenletek. Holomorf, reguláris és harmonikus függvény. Szakaszonként folytonosan differenciálható görbe és folytonos komplex függvény görbementi integrálja. Newton-Leibniz-tétel. Goursat-lemma. Görbe indexfüggvénye. Az indexfüggvény tulajdonságai. Kontúrhomotóp görbék. Egyszeresen összefüggő halmaz. Cauchy integrálformulái. Differenciálható függvény analitikussága és a Taylor-sorfejtés konvergenciasugarának maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele. Liouville-tétel és az algebra alaptétele. Holomorf függvények gyökeinek tulajdonságai és a gyökök multiplicitása. Lokális maximum elve. Laurent-sorfejtés. Függvény szingularitása, n-ed rendű pólusa és lényeges szingularitása. Reziduum-tétel. 
 
 
1. Continuous liner maps.
Operator norm and the properties of the space of continuous linear maps. Linear maps with finite dimensional domains are continuous. Norms are equivalent on finite dimensional vector spaces. Borel-Lebesgue theorem for finite dimensional vector spaces.
 
2. Sequences and series of functions.
Pointwise limit of a sequence or series of functions. Pointwise and uniform convergence of a sequence or series of functions. Absolute convergence of a series of functions. Weierstrass criterion. Power series and Cauchy-Hadamard theorem. Interchanging differentiation and the limit, integration and the limit. Term-by-term differentiability and integrability of a series of functions. Function of diagonalizable matrices, function of normal matrices.
 
3. Fourier series.
Fourier coefficients, Fourier series. The Fourier series of a twice continuously differentiable periodic function converges uniformly to the function.
 
4. Theory of complex functions.
Holomorphic functions, harmonic functions, Cauchy-Riemann equations. Piecewise continuously differentiable curves, complex path integrals. Primitive function. Newton-Leibniz theorem. Goursat's lemma. The index of a point with respect to a curve, properties of the index function. Homotopy equivalence of curves. Simply connected sets. Cauchy's integral formulas. Every holomorphic function is analytic. Taylor series expansion, radius of convergence. Riemann's theorem on removable singularities. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Zeroes of holomorphic functions, multiplicity of zeroes. Maximum principle. Laurent series. Poles of holomorphic function: removable, with finite order and essential. Residue theorem.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Házi feladatok megoldása, zárthelyik és röpzh-k teljesítése, órákon való részvétel. vizsga-
időszakban		 Írásbeli és szóveli vizsga.
13. Pótlási lehetőségek
A TVSZ szerint.
14. Konzultációs lehetőségek
Zh-k és vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetett időpontban.
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
R. B. Ash, W. P. Novinger: Complex Variables: Second Edition, Dover Publications, 2007.
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Vol. I: Metric and Normed Spaces, Dover Publications, 1996.
MIT, OpenCourseWare, Spring 2018, Undergraduate: Complex Variables With Applications.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
14
16.3 Felkészülés zárthelyire
14
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
14
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
48
16.9 Összesen
150
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Andai Attila
egyetemi docens
Analízis és Operációkutatás Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Andai Attila