Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE947211
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Bevezetés az Atiyah–Singer index-tétel témakörébe
2. A tárgy angol címe Introduction to the Topic of the Theorem of Atiyah–Singer on Indices
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 0 + 0 v Kredit 3
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Geometria Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Etesi Gábor beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2014.05.14. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2014.09.10
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
Differenciálgeometria
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
Matematikus PhD képzés választható tárgya
11. A tárgy részletes tematikája
Szoboljev-terek sokaságokon: egy sokaság feletti vektornyaláb szeléseiből Álló különböző Szoboljev-terek konstrukciója; Szoboljev beágyazási tétele és a Rellich--Kondrashov kompaktsági tétel. Elliptikus differenciál-operátorok sokaságokon: egy sokaság feletti differenciál-operátor fogalma; lineáris differenciál-operátor szimbóluma és elliptikusságának definíciója; a Fredholm-operátor fogalma és egy ilyen operátor analitikus indexe; egy kompakt sokaság feletti lineáris elliptikus differenciál-operátor Fredholm; az Atiyah--Singer index-tétel egyik oldala: egy elliptikus operátor analitikus indexe. A topologikus K-elmélet elemei: egy topologikus tér feletti vektornyalábok félgyűrűje; egy félgyűrű Grothendieck-bővítése és a topologikus tér K- csoportja; egy elliptikus operátor index-nyalábja; az Atiyah--Singer index-tétel másik oldala: egy elliptikus operátor topologikus indexe; az Atiyah-- Singer index-tétel kimondása: az analitikus és a topologikus indexek egyenlőek. Számolások: A Dirac- és a Laplace-operátorok indexeinek kiszámolása; különböző deformációs komplexusok indexei, stb. Az index-tétel hővezetési-egyenletes bizonyításáról: a hővezetési-egyenlet egy Riemann-sokaságon; a hővezetési-egyenlet megoldása hőmag- kifejtéssel; a hőmag hosszúidejű aszimptotikája az analitikus index; a hőmag rövididejű aszimptotikája a topologikus index; a hőmag időfüggetlensége és az index-tétel.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 részvétel az előadásokon vizsga-
időszakban		 szóbeli vizsga
13. Pótlási lehetőségek
TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
az előadóval egyeztetve
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Fizika és geometria, Fizikus-matematikus nyári iskola Óbánya,1997., Barnaföldi G., Rimányi R., Matolcsi, T., 1999.
R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1991).
R.M. Wald: General relativity, University of Chicago press, Chicago, 1984.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
28
16.2 Félévközi felkészülés órákra
14
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
0
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
48
16.9 Összesen
90
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
90
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Etesi Gábor
egyetemi docens
Geometria Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. G. Horváth Ákos