Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE95MM23
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Síkbeli kritikus jelenségek és konforminvariancia
2. A tárgy angol címe Critical Phenomena and Conformal Invariance in the Plane
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 0 + 0 v Kredit 3
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM04 ValSzám (mat) BMETE95AF00 ValSzám (fiz)
4.2 BMETE92AM09 Analízis3 BMETE13AF13 MatMódszFiz
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Pete Gábor beosztása tudományos főmunkatárs
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2011.12.20. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2012.02.02.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
valószínűségszámítás, kombinatorika, analízis, differencálegyenlet és komplex függvénytan alapok
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematikus PhD képzés kötelezően választható tárgya
11. A tárgy részletes tematikája
Az elmúlt tíz év óriási fejlődést hozott a síkbeli kritikus sztochasztikus folyamatok megértésében, amit a Schramm-Loewner Egyenlet bevezetése, Wendelin Werner és Stanislav Smirnov Fields-medáljai is mutatnak. A kurzus tehát a modern matematika rendkívül aktív területére kíván bepillantást nyújtani. – A Fortuin-Kasteleyn véletlen fürt modell és speciális esetei: perkoláció, – Smirnov tétele az Ising-spin és Ising-FK modellek konforminvarianciájáról. véletlen egyenletes eloszlású feszítőfák, Ising- és Potts-modellek. Szabad- és RSW-típusú tételek rövidre zárt peremfeltételes végtelen térfogat limesz-mértékek, fázisátmenetek. – Wilson algoritmusa a véletlen egyenletes eloszlású feszítőfa generálására; a – FKG-Harris és van den Berg-Kesten korrelációs egyenlőtlenségek. hurok-törölt bolyongás (loop-erased random walk). – Bitek hatása Boole-függvényekre: Russo-formula, Bourgain-Kahn-Kalai- – Schramm-Loewner Egyenlet bevezetése. Katznelson-Linial-tétel, Graham-Grimmett-féle általánosítás (többnyire – Az SLE néhány alaptulajdonsága, Bessel-folyamatok segítségével. bizonyítás nélkül). – Perkoláció kritikus exponensek számolása SLE segítségével. – Kritikus perkoláció alaptételei: Russo-Seymour-Welsh és Harris-Kesten Kitekintés néhány haladóbb témára: tételek (a perkolációs valószínűség folytonossága p_c-ben). – Közelkritikus modellek: Kesten-féle skálázási összefüggések perkolációban, – Kritikus perkoláció konform-invarianciája: Cardy-formula, S. Smirnov tétele. Onsager kontra pivotális pontok az Ising-modellben, minimális feszítőfa. – Síkbeli bolyongás univerzalitása, a Brown-mozgás konforminvarianciája, a – Dinamikus perkoláció: zaj-érzékenység, Fourier-spektrum, kivételes szabad Gauss-mező (Gaussian Free Field) konforminvarianciája. időpontok, Incipient Infinite Cluster – Diszkrét komplex analízis. – Ising-modell Glauber-dinamikájának keverési idej – Dominó-csempézések magasságfüggvénye, Kasteleyn-Temperley-Fisher- – Az SLE-k mint a GFF szintvonalai. Véletlen síkgráfok, Liouville kvantum technika, Kenyon tételének kimondása GFF-hez tartásról. gravitáció, KPZ-reláció
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 8 HF beadása egy hosszabb listáról vizsga-
időszakban		 Szóbeli vizsga
13. Pótlási lehetőségek
Pótfeladatok, pótvizsga
14. Konzultációs lehetőségek
Megbeszélés alapján
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
H. Duminil-Copin, S. Smirnov. Conformal invariance of lattice models. Clay Institute Summer School in Buzios, 2010. arXi
C. Garban, J. Steif. Lectures on noise sensitivity and percolation. Clay Institute Summer School in Buzios, 2010. arXiv:
G. Grimmett. The random-cluster model. Springer, Berlin, 2006.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
28
16.2 Félévközi felkészülés órákra
14
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
16
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
10
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
22
16.9 Összesen
90
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
90
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Pete Gábor
tudományos főmunkatárs
Sztochasztika Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Tóth Bálint