Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar |
Tantárgy Adatlap |
Tantárgy kód | BMETE91AM41 |
Tantárgy azonosító adatok | |||||||||
1. | A tárgy címe | Csoportok és gyűrűk | |||||||
2. | A tárgy angol címe | Groups and rings |
3. | Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa | 4 | + | 0 | + | 0 | v | Kredit | 4 |
4. | Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend | ||||||||
vagy | Tantárgy kód 1 | Rövid cím 1 | Tantárgy kód 2 | Rövid cím 2 | Tantárgy kód 3 | Rövid cím 3 | |||
4.1 | BMETE91AM39 | Algebra2 | |||||||
4.2 | |||||||||
4.3 | |||||||||
5. | Kizáró tantárgyak | ||||||||
6. | A tantárgy felelős tanszéke | Algebra Tanszék | |||||||
7. | A tantárgy felelős oktatója | Dr. Horváth Erzsébet | beosztása | egyetemi docens |
Akkreditációs adatok | ||||
8. | Akkreditációra benyújtás időpontja | 2015.02.16. | Akkreditációs bizottság döntési időpontja | 2016.04.18. |
Tematika | |||||||||
9. | A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít | ||||||||
absztrakt algebra alapfogalmai |
|||||||||
10. | A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható) | ||||||||
TTK Matematika (BSc) képzés Elméleti specializáció kötelezően választható tárgya. |
|||||||||
11. | A tárgy részletes tematikája | ||||||||
Az alternáló csoportok egyszerűsége. Tranzitív csoporthatások, stabilizátor, orbit. Csoport reprezentációja egy részcsoport m ellékosztályain. Alkalmazások. Cauchy-Frobenius-Burnside lemma. Primitív csoporthatás definíciója és jellemzései. Prímfokú permutációcsoportok. Többszörös
tranzitivitás. Kommutátor részcsoport, kommutátorlánc, feloldható csoportok. A feloldhatóság öröklőd. Véges feloldható csopor t minimális normálosztója. Nevezetes tételek: Hall-tételek, Feit-Thomson-tétel, Burnside-tétel. A [H,K] kölcsönös kommutátor tulajdonságai. Leszálló és felszálló centrállánc. Nilpotens csoportok. A nilpotencia öröklődése. A nilpotencia ekviavalens feltételei.
Baloldali R-modulus, ideál, főideál, euklideszi gyűrű. Modulushomomorfizmus, részmodulus, faktormodulus, modulusok direkt szorzata és direkt
összege. Végesen generált modulus. Szabad modulus, rangja. Főideálgyűrű feletti végesen generált szabad modulusok. E uklideszi gyűrű feletti mátrix Smith-normálalakja (elemi osztók tétele). Kínai maradéktétel. Féligegyszerű gyűrű. Jacobson-radikál. Jordan-Hölder tétel. Teljesen reducibilis modulus, ekvivalensei. J(A) ekvivalensei. Wedderburn—Artin-féle struktúratétel. Algebrák, csoportalgebra, Frobenius-tétel. Lie-algebra fogalma, példák.
Csoportok reprezentációja csoporthomomorfizmusként és modulusként, reprezentációk hasonlósága. Irreducibilis modulus, Maschke -tétel. Schur- lemma. Komplex karakter, irreducibilis karakter, osztályfüggvény. Irr(G) bázis az osztályfüggvények terében. Reguláris modulus, reguláris reprezentáció, reguláris karakter. Centrálisan primitív idempotens kifejezése a csoportalgebrában. Ortogonalitási relációk. I rr(G) ONB. Karaktertábla. Karakter magja, centruma. G’ a lineáris karakterek magjai metszete. Z(χ) jellemzése. Algebrai egészek összege stb is egész.
Centrális karakter. ω(C+) algebrai egész. Burnside tétele. Lie-algebrák reprezentációi, féligegyszerű Lie-algebrák, sl(2,F). |
|||||||||
12. | Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja | ||||||||
szorgalmi időszakban |
Házi feladatok megoldása. | vizsga- időszakban |
írásbeli és szóbeli vizsga | ||||||
13. | Pótlási lehetőségek | ||||||||
TVSZ szerint |
|||||||||
14. | Konzultációs lehetőségek | ||||||||
igény szerint |
|||||||||
15. | Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom | ||||||||
P.J.Cameron, Introduction to algebra, Oxford Science Publications, 2004 |
|||||||||
J.J.Rotman, An Introduction to the theory of groups, GTM 148, Springer,1994 |
|||||||||
I.M.Issacs, Character theory of finite groups, Dover, 1994 |
|||||||||
16. | A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva) | ||||||||
16.1 | Kontakt óra | 56 |
|||||||
16.2 | Félévközi felkészülés órákra | 0 |
|||||||
16.3 | Felkészülés zárthelyire | 0 |
|||||||
16.4 | Zárthelyik megírása | 0 |
|||||||
16.5 | Házi feladat elkészítése | 28 |
|||||||
16.6 | Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló) | 0 |
|||||||
16.7 | Egyéb elfoglaltság | 0 |
|||||||
16.8 | Vizsgafelkészülés | 36 |
|||||||
16.9 | Összesen | 120 |
|||||||
17. | Ellenőrző adat | Kredit * 30 | 120 |
A tárgy tematikáját kidolgozta | |||||||||
18. | Név | beosztás | Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.) | ||||||
Dr. Horváth Erzsébet |
egyetemi docens |
Algebra Tanszék |
|||||||
A tanszékvezető | |||||||||
19. | Neve | aláírása | |||||||
Dr. Nagy Attila |