Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE95AM33
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe A modern valószínűségszámítás eszközei
2. A tárgy angol címe Tools of modern probability theory
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 4 + 0 + 0 v Kredit 4
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM29 Valszám1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Tóth Imre Péter beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2015.02.16. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2016.04.18.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
differenciál- és integrálszámítás, a lineáris algebra, a mértékelmélet, komplex függvénytan és a kombinatorika alapjai
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika (BSc) képzés Sztochasztika sávjának kötelező tárgya.
11. A tárgy részletes tematikája
A tárgy célja a modern valószínűségszámításban használt legfontosabb kombinatorikai, lineáris algebrai, valós függvénytani, m értékelméleti, komplex függvénytani, funkcionálanalízis-beli és geometriai eszközök megtanítása. Példákon keresztül bemutatjuk ezek valószínűségszámításbeli alkalmazását, de a hangsúly az eszköztár kifejlesztésén van. A me gszerzett tudás egy részét az MSc képzésben fogjuk hasznosítani. Kombinatorika: Generátorfüggvény-módszer. Stirling formula, Euler Gamma-függvény. Topológia: Konvergencia metrikus téren és topológikus téren. Kompaktság. Szorzattér, szorzat-topológia, Tyihonov tétel. Lineáris algebra: Belső szorzatterek, Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség. Mátrixok hatványozása, analitikus mátrix-kalkulus. (Alkalmazás: Markov átmenetvalószínűségek.) Függvénytranszformációk: Laplace-transzformáció. Fourier-sorfejtés, Fourier-transzformáció, diszkrét Fourier-transzformáció. (Alkalmazás: karakterisztikus függvény.) Legendre transzformáció. Mértékelmélet: Integrálás és deriválás felcserélhetősége. Egyenletes konvergencia és folytonosság. (Alkalmazás: karakterisztikus függvény differenciálhatósága.) Jensen-egyenlőtlenség. Abszolut folytonosság, Radon-Nikodym tétel. (Alkalmazás: feltételes várható érték.) Mértékek előretoltja, helyettesítéses integrál. (Alkalmazás: Valószínűségi változók eloszlása, eloszlások várható értéke.) Szorzattér, szorzatmérték. Fubini tétel. (Alkalmazás: függetlenség.) Mértékek dekompozíciója, feltételes mérték, faktormérték. Komplex függvénytan: Reziduum -tétel, Laurent sorfejtés. (Alkalmazás: konvolóciók és karakterisztikus függvények számolása.) Analitikus kiterjesztés, Vitali tétel. Funkcio nálanalízis: Korlátos operátorok spektruma, rezolvens, spektrálsugár. Hahn-Banach tétel. C^k terek, Arsela-Ascoli tétel. Folytonos lineáris funkcionálok, Riesz-Markov tétel. Duális terek, gyenge csillag topológia, feszesség. Fourier-transzformáció még egyszer, Riesz-Fischer tétel.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 rendszeresen beadandó házi feladatok vizsga-
időszakban		 vizsga
13. Pótlási lehetőségek
TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
vizsgák előtt konzultáció
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Járai Antal: Mérték és integrál
Rudin: Functional Analysis
az előadó jegyzetei
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
14
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
18
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
32
16.9 Összesen
120
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
120
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Tóth Imre Péter
egyetemi docens
Sztochasztika Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Simon Károly