BMETE92AF55

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar

Tantárgy Adatlap

Tantárgy kód

BMETE92AF55

Tantárgy azonosító adatok
1.	A tárgy címe	A kvantumelmélet matematikai alapjai
2.	A tárgy angol címe	Mathematical Foundations of Quantum Theory

3.

Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa

2

+

1

+

0

v

Kredit

4

4.	Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
	vagy	Tantárgy kód 1	Rövid cím 1	Tantárgy kód 2	Rövid cím 2	Tantárgy kód 3	Rövid cím 3
	4.1
	4.2
	4.3
5.	Kizáró tantárgyak
5.
6.	A tantárgy felelős tanszéke		Analízis Tanszék
7.	A tantárgy felelős oktatója		Dr. Mosonyi Milán		beosztása	egyetemi docens

Akkreditációs adatok
8.	Akkreditációra benyújtás időpontja	2020.01.16.	Akkreditációs bizottság döntési időpontja	2020.01.20.

Tematika
9.	A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
	Lineáris algebra, többváltozós analízis
10.	A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
	TTK fizikus képzések szabadon választható tárgya
11.	A tárgy részletes tematikája
	1. Klasszikus valószínűségi modellek. Mérhető terek, valószínűségi mérték, éles mérések, függvények mérhetősége, valószínűségi változó eloszlása, mérési statisztika modellezése. Borel sigma-algebra, Lebesgue-mérték definíciója. Mérési eredmények várható értéke, szórása, az integrál definíciója, alapvető integrál-tételek. Véges dimenziós klasszikus modellek mátrix formalizmusban, véges és végtelen dimenziós kvantum modellek matematikai motivációja. 2. Norma és skalárszorzat, l^p([d]), l^p(N) és absztrakt L^p-terek. Teljesség jellemzése abszolút konvergens sorozatokkal, L^p-terek teljessége. Normák ekvivalenciája, véges-dimenziós normált terek. 3. Nyílt és zárt halmazok, sűrű alterek, sűrűn értelmezett lineáris operátorok. Lineáris operátorok korlátossága és folytonossága. Hilbert-terek direkt összege, operátor gráfja, zárt operátorok. Sajátérték és spektrum, peremfeltételek (értelmezési tartomány) hatása a spektrumra. Példák szorzás- és differenciálás operátorokkal. 4. Hilbert-terek geometriája, zárt konvex halmazra vetítő projekció, ortokomplementum, ortogonális projekciók. Unitér és izometrikus operátorok, Hilbert-terek izometriája. Teljes ortonormált rendszerek, bázis szerinti kifejtés, operátorok mátrixa. Trigonometrikus bázis, polinom bázisok. 5. Hilbert-terek duálisa, Riesz reprezentációs tétel, operátor adjungáltja, adjungált operátor gráfja és zártsága, önadjungált és szimmetrikus operátorok. A kvantummechanikai hely és lendület operátorok. 6. Korlátos pozitív szemidefinit operátorok, pozitív szemidefinit rendezés. Projekciók rendezése. Pozitív szemidefinit operátorok nyoma, sűrűségoperátorok. Nyomszerű pozitív szemidefinit operátorok spektrálfelbontása (bizonyítás nélkül). Tiszta és kevert állapotok. 7. Pozitív operátorok növő sorozatának határtértéke, erős és gyenge operátortopológiák. Kvantummechanikai mérhető mennyiségek mint projektor-, illetve pozitív operátor értékű mértékek, sűrűségoperátor szerinti mérési valószínűségek. Gleason tétel (bizonyítás nélkül). A pozíció méréshez tartozó projektor értékű mérték. 8. Mérési eredmények várható értéke és szórása, projektor értékű mérték szerinti integrál. Valós mérhető mennyiséghez tartozó operátor, mérhető mennyiség függvényei. Spektráltétel projektor értékű mértékes és szorzásoperátoros változata (bizonyítás nélkül). Nemkorlátos önadjungált operátor által generált unitér csoport, unitér csoport generátora. 9. Fourier-transzformáció L²(R^d)-n, a lendülethez tartozó projektor értékű mérték. 10. Együttes mérhetőség és inkompatibilitás, mérhető mennyiségek összegének problémája, látszólagos fizikai ellentmondások feloldása.
12.	Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
	szorgalmi időszakban		Megfelelő mennyiségű házi feladat beadása az aláíráshoz, további házi feladatok beadásával megajánlott jegy szerezhető.		vizsga- időszakban	Szóbeli vagy írásbeli vizsga.
13.	Pótlási lehetőségek
	A TVSZ szerint
14.	Konzultációs lehetőségek
	Az oktatóval egyeztetve
15.	Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
	Gerald B. Folland: Real Analysis, 2nd edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
	Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991.
	Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1980.
Brian C. Hall: Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013.

16.	A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
		16.1	Kontakt óra	42
		16.2	Félévközi felkészülés órákra	0
		16.3	Felkészülés zárthelyire	0
		16.4	Zárthelyik megírása	0
		16.5	Házi feladat elkészítése	54
		16.6	Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)	0
		16.7	Egyéb elfoglaltság	0
		16.8	Vizsgafelkészülés	24
		16.9	Összesen	120
17.	Ellenőrző adat		*Kredit 30**	120

A tárgy tematikáját kidolgozta
18.	Név	beosztás	Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
	Dr. Mosonyi Milán	egyetemi docens	Analízis Tanszék

A tanszékvezető
19.	Neve	aláírása
	Dr. Horváth Miklós