A topologikus kvantum fizikai rendszerek iránti érdeklődés a műlt század 80-as éveiben kezdődött (kvantum Hall effektus), de azóta szinte minden évtizedben új lendületet kap, valamilyen új felfedezésnek köszönhetően.  A 2000-es években kezdődött a topologikus szigetelők kutatása, mely több irányban kiterjedt.  Az alap topologikus szigetelőkhöz hozzá adódtak olyan érdekes témakörök, mint a Floquet topologikus szigetelők vagy a nem Hermitikus rendszerek topológiája.

A teljes témakörre igaz, hogy az egyik kiinduló pontja a geometriai fázis fogalma.  A geometriai fázisról akkor beszélhetünk, amikor egy kvantum rendszert a saját paraméter terében egy cikluson adiabatikusa körbeviszünk.  Triviális esetben ilyenkor a rendszer ugyanabba az állapotba jut vissza amelyben a ciklus kezdetén volt, nem triviális esetben viszont egy fázis faktorral különböző állapot lesz a végállapot.  Nem triviális eset, például, ha a ciklus által körbefogott felületen degerenációs pont helyezkedik el.

A geometriai fázis érdekes általánosítása az az eset, amikor az adiabatikus pálya teljes hosszán a rendszer valamilyen szimmetriából adódóan elfajult.  Például, egy időtükrözésre szimmetrikus rendszer, ha páratlan számú fermionokból áll, akkor Kramers degenerancia van jelen.  Az ilyen esetekben a geometriai fázist általánosítani kell a szokásos fázis helyére egy mátrix kerül, amelyek a dimenziója megfelel a szimmetriából adódó elfajult állapotok számával.   Ezt az esetet előszőr Wilczek és Zee vizsgálták, és az adiabatikus ciklust jellemző mennyiség már nem a geometriai fázis, hanem a Wilson hurok.

A fenti elvi leírásoknak több érdekes alkalmazása van.  C. A. Mead mutatta meg, hogy egy fél egész spinű rendszerben anomáliák lépnek fel, ha a rá ható elekromos teret "forgatjuk".   Ezt a viselkedést egy konkrét Wilson hurokkal, az SU(2) instantonnal lehet leírni.  Ha az idő engedi akkor el lehet olvasni az olyan topologikus modellekkel foglalkozó cikkeket is amelyek a fenti elvek alapján értelmezhetőek (pl. a Fu Kane modell).

A szakdolgozat célja a fenti jelenségek részletes elméleti tanulmányozása, beleértve az alapul szolgáló témákat, mint a kvantum mechanika időtől függő Schrödinger egyenletének megoldásai módszereinek tanulmányozása.

A munka elején az időtől függő Schrödinger egyenlet megoldási módszereit szükséges tanulmányozni, alap tankönyvekből, mint pl. Sakurai.  Mivel a fenti jelenségek feltétele, hogy a ciklus adiabatikus legyen, az alapok elsajátítása után az adiabatikus tétel tanulmányozása következik, amelyhez jó anyag a Messiah kvantummechanika könyv, valamint T. Kato cikke, amely az adiabatikus tételt a degeneráns esetre bizonyítja. 

T. Kato bizonyítása alapján levezethető a Wilson hurok, a Berry fázis általánosítása.

Az alapok fenti elsajátítása után az alkalmazások következnek.  Itt több lehetőség közül lehet választani.  Az egyik fontos alkalmazás C. A. Mead munkája, amelyben megmutatja, hogy egy páratlan számú fermionokkal rendelkező rendszer anomálisan viselkedik, ha a rá ható teret "forgatjuk".  A jelenséget az SU(2) instanton leírás segítségével lehet tisztán tárgyalni.

Ha az idő engedi, akkor a témával kapcsolatos topologikus szigetelő modelleket is lehet tanulmányozni.  Ilyen pl. a Fu Kane modell, amely az első olyan modell volt, amely a spin-pumpálást megvalósította.

A munka menete pontokban:

*  Kvantummechanikai alapok (időtől függő Schrödinger egyenlet)  Forrás: pl. J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics.

*  Az adiabatikus tétel.  Forrás: A. Messiah: Quantum Mechanics és T. Kato: On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics, J. Phys. Soc. Jpn. 5 435 (1950).

*  A fél-egész spinű részecskék adiabatikusa forgó elektromos térben, és az SU(2) instanton.  Forrás: C. A. Mead, Phys. Rev. Lett. 59 161 (1987) és M. T. Johnsson A.J.R. Aitchison, J. Phys. A 30 2085 (1997).