Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETEAGBsMVMAL-00
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Vektor- és mátrixalgebra matematikusoknak
2. A tárgy angol címe Vector and Matrix Algebra for Mathematicians
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 4 + 4 + 0 v Kredit 8
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Algebra és Geometria Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Hegedüs Pál beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2024.04.18. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2024.05.15.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
Középiskolai matematikai ismeretek
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika BSc angol nyelvű képzés kötelező tárgya
11. A tárgy részletes tematikája
Elemi absztrakt algebra: Komplex számok és aritmetikájuk. Algebrai, trigonometrikus és exponenciális ábrázolások. Euler képlete. A komplex számok kapcsolata a síkgeometriával, egységgyökök és primitív egységgyökök. Elemi függvények. Polinomok algebrája. Az algebra alaptétele.
Vektorterek: Motiváció. Lineáris függetlenség és bázisok. Közvetlen összegek. Belsőszorzat terek. Ortogonális halmazok..
Lineáris egyenletek és mátrixok: Lineáris egyenletrendszerek. Elemi sorműveletek. Sor- és oszlopterek. Lineáris egyenletrendszerek megoldásai. Mátrixalgebra. Invertálható mátrixok. Elemi mátrixok.
Determinánsok: Permutációk. A Levi-Civita szimbólum. Definíciók és elemi tulajdonságok. A determinánsok további tulajdonságai. Determinánsok és lineáris egyenletek. Kofaktorokkal való kifejtés.
Lineáris transzformációk és mátrixok: Lineáris transzformációk és tulajdonságok. Mátrixreprezentációk. Bázisváltás. Ortogonális transzformációk. Tükrözések, forgatások és vetítések.
Sajátértékek és sajátvektorok: Sajátértékek és sajátvektorok. Karakterisztikus és minimálpolinomok. Blokkmátrixok. Invariáns alterek. Bővebben a diagonalizálásról. Spektráltétel. Normál mátrixok diagonalizálása. A szinguláris érték szerinti dekompozíció.
Numerikus és algoritmikus megközelítés: Az LU- és QR-faktorizálás. A legkisebb négyzetek módszere. A Jacobi-féle sajátérték algoritmus szimmetrikus mátrixokra.
Operátorok és diagonalizáció: Az adjungált operátor. Normál operátorok. Bővebben az ortogonális transzformációkról. Vetítések. A spektrálfelbontás tétel. Pozitív operátorok. Az exponenciális sor mátrixokra.
 
Elementary Real Analysis: Complex Numbers and Their Arithmetics. Algebraic, Trigonometric and Exponential Representations. Euler's Formula. The complex plane. Roots and primitive roots of unity. Elementary Functions. Algebra of polynomials. The Fundamental Theorem of Algebra.
Vector Spaces: Motivation. Linear Independence and Bases. Direct Sums. Inner Product Spaces. Orthogonal Sets.
Linear Equations and Matrices: Systems of Linear Equations. Elementary Row Operations. Row and Column Spaces. Solutions to Systems of Linear Equations. Matrix Algebra. Invertible Matrices. Elementary Matrices. 
Determinants: Permutations. The Levi-Civita Symbol. Definitions and Elementary Properties. Additional Properties of Determinants. Determinants and Linear Equations. Expansion by Cofactors.
Linear Transformations and Matrices: Linear Transformations and Properties. Matrix Representations.Change of Basis. Orthogonal Transformations. Reflections, Rotations and Projections.
Eigenvalues and Eigenvectors: Eigenvalues and Eigenvectors. Characteristic Polynomials. Block Matrices. Invariant Subspaces. More on Diagonalization. Spectral theorem. Diagonalizing Normal Matrices. The Singular Value Decomposition.
Numerical and Algorithmic Approach: The LU and QR Factorizations. The Least Squares Method. The Jacobi Eigenvalue Algorithm for Symmetric Matrices. 
Operators and Diagonalization: The Adjoint Operator. Normal Operators. More on Orthogonal Transformations. Projections. The Spectral Theorem. Positive Operators. The Matrix Exponential Series.

 
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Zárthelyi dolgozatok teljesítése, rendszeres házi feladatmegoldás. vizsga-
időszakban		 Írásbeli, illetve szóbeli vizsga.
13. Pótlási lehetőségek
A TVSZ szerint.
14. Konzultációs lehetőségek
Az oktatóval, gyakorlatvezetővel egyeztetve.
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
G Strang: Introduction to Linear Algebra. (Fifth Edition) Wellesley-Cambridge 2016.
R. Irving: Integers, Polynomials, and Rings - A Course in Algebra. Springer 2004.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
112
16.2 Félévközi felkészülés órákra
28
16.3 Felkészülés zárthelyire
24
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
32
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
40
16.9 Összesen
240
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
240
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Hegedüs Pál
egyetemi docens
Algebra és Geometria Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. G. Horváth Ákos