Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETEAOMsMVOIR-00
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Variációszámítás és optimális irányítás
2. A tárgy angol címe Calculus of Variations and Optimal Control
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 3 + 1 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Analízis és Operációkutatás Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Kolumbán József beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2024.04.18. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2024.05.15.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
analízis, optimalizálás
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematikus és Alkalmazott matematikus MSc képzések kötelezően választható tárgya
11. A tárgy részletes tematikája

Bevezetés az optimális irányítási problémákba.
Néhány példa variációs problémákra.
Az optimalitás szükséges feltétele: az Euler-Lagrange egyenletek.
Különbség a rögzített és a változó végpontú esetek között.
Hamiltoni dinamika.
Variációs problémák megkötésekkel.
Elégséges feltételek az optimalitáshoz.
Szakaszonként folytonosan differenciálható görbék és a Weierstrass-Erdmann feltételek.
Optimális irányítás és a Pontryagin-féle maximum elv.
Dinamikus programozás: diszkrét motiváció és értékfüggvény.
Hamilton-Jacobi-Bellman egyenlet.
Visszacsatolásos vezérlés és elégséges feltételek az optimalitáshoz.

Introduction to optimal control problems.
Some examples of variational problems.
Necessary conditions for optimality: the Euler-Lagrange equations.
Difference between fixed- and variable-endpoint cases.
Hamiltonian dynamics.
Variational problems with constraints.
Sufficient conditions for optimality.
Piecewise continuously differentiable curves and Weierstrass-Erdmann conditions.
Optimal control and Pontryagin's maximum principle.
Dynamic programming: discrete motivation and value function.
Hamilton-Jacobi-Bellman equation.
Feedback control and sufficient conditions for optimality.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 ZH-k teljesítése. Órákon való részvétel. vizsga-
időszakban		 Vizsgajegy az írásbeli vizsga és a félévközi teljesítmény alapján.
13. Pótlási lehetőségek
A TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
Fogadóórán
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
D. Liberzon: Calculus of Variations and Optimal Control Theory: A Concise Introduction, Princeton Univ. Press, 2012.
L. C. Evans: An Introduction to Mathematical Optimal Control Theory, University of California, Berkeley 2010.
Gyurkovics Éva: Optimális irányítások, Typotex, 2011.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
14
16.3 Felkészülés zárthelyire
24
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
24
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
28
16.9 Összesen
150
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Kolumbán József
egyetemi docens
Analízis és Operációkutatás Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Andai Attila