Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETEAOBsMANL2-00
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Analízis 2
2. A tárgy angol címe Analysis 2
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 2 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Analízis és Operációkutatás Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Andai Attila beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2024.04.29. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2024.05.15.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
Elemi ismeretek többváltozós kalkulusból és a normált terek elméletéből.
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika BSc képzés kötelező tárgya.
11. A tárgy részletes tematikája
1. Határozott integrál.
Adott felosztáshoz tartozó alsó, felső közelítő összeg és oszcillációs összeg. Alsó és felső integrál. Riemann-integrálhatóság. Minden folytonos és minden monoton függvény Riemann-integrálható. Newton-Leibniz-tétel. Az integrálfüggvény definíciója és tulajdonságai.
 
2. Folytonos lineáris leképezések.
Normált terek között ható lineáris leképezés folytonossága. Az operátornorma és a folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Minden véges dimenziós téren értelmezett lineáris leképezés folytonos. Carl Neumann-sor. Véges dimenziós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Borel-Lebesgue-tétel véges dimenziós normált térre. Példa nem folytonos lineáris leképezésre és nem ekvivalens normákra.
 
3. Függvénysorozatok.
Pontonkénti határfüggvény, illetve pontonkénti összegfüggvény. Függvénysor abszolút konvergenciája. Függvénysorozat és függvénysor pontonkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Weierstrass tétele (függvénysorok egyenletes konvergenciájáról). Hatványsorok, Cauchy-Hadamard-tétel és Abel-tétel. Függvénysorozat tagonkénti integrálhatósága és differenciálhatósága (valós-valós függvényekre). Diagonalizálható mátrix függvénye. Normális mátrix függvénye.
 
4. Fourier-sorfejtés.
Fourier-együtthatók és sorfejtés. Integrálható függvény Fourier-együtthatóinak konvergenciája. Kétszer folytonosan differencilható függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez.
 
5. Komplex függvénytan.
Komplex függvény differenciálhatósága és deriváltja. Cauchy-Riemann-egyenletek. Holomorf, reguláris és harmonikus függvény. Szakaszonként folytonosan differenciálható görbe és folytonos komplex függvény görbementi integrálja. Newton-Leibniz-tétel. Goursat-lemma. Görbe indexfüggvénye. Az indexfüggvény tulajdonságai. Kontúrhomotóp görbék. Egyszeresen összefüggő halmaz. Cauchy tétele kontúrhomotóp görbéken számolt integrálról. Cauchy integrálformulái. Differenciálható függvény analitikussága és a Taylor-sorfejtés konvergenciasugarának maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele. Morera-tétele. Cauchy-egyenlőtlenség. Liouville-tétel és az algebra alaptétele. Holomorf függvények gyökeinek tulajdonságai és a gyökök multiplicitása. Lokális maximum elve. Laurent-sorfejtés. Függvény szingularitása, n-ed rendű pólusa és lényeges szingularitása. Reziduum-tétel. 
 
 
1. Definite integral.
Lower and upper Riemann sums and the oscillatory sum of a function for a partition of an interval. Upper and lower Riemann integrals of a function. Riemann integrable functions. Every continuous and monotone function is Riemann integrable. Newton-Leibniz theorem. Integral function and its properties. 
 
2. Continuous liner maps.
Operator norm and the properties of the space of continuous linear maps. Linear maps with finite dimensional domains are continuous. Carl Neumann series. Norms are equivalent on finite dimensional vector spaces. Borel-Lebesgue theorem for finite dimensional vector spaces. Examples for not continuous linear map and for not equivalent norms.
 
3. Sequences and series of functions.
Pointwise limit of a sequence or series of functions. Pointwise, uniform and locally uniform convergence of a sequence or series of functions. Absolute convergence of a series of functions. Weierstrass criterion. Power series, Cauchy-Hadamard and Abel's theorem on uniform convergence of power series. Interchanging differentiation and the limit, integration and the limit. Term-by-term differentiability and integrability of a series of functions. Function of diagonalizable matrices, function of normal matrices.
 
4. Fourier series.
Fourier coefficients, Fourier series. The Fourier series of a twice continuously differentiable periodic function converges uniformly to the function.
 
5. Theory of complex functions.
Holomorphic functions, harmonic functions, Cauchy-Riemann equations. Piecewise continuously differentiable curves, complex path integrals. Primitive function. Newton-Leibniz theorem. Goursat's lemma. The index of a point with respect to a curve, properties of the index function. Homotopy equivalence of curves. Simply connected sets. Cauchy's integral theorem for homotopy equivalent curves and Cauchy integral formulas. Every holomorphic function is analytic. Taylor series expansion, radius of convergence. Riemann's theorem on removable singularities. Morera's theorem. Cauchy inequality. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Zeroes of holomorphic functions, multiplicity of zeroes. Maximum principle. Laurent series. Poles of holomorphic function: removable, with finite order and essential. Residue theorem.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Házi feladatok megoldása, zárthelyik és röpzh-k teljesítése, órákon való részvétel. vizsga-
időszakban		 Írásbeli és szóbeli vizsga.
13. Pótlási lehetőségek
A TVSZ szerint.
14. Konzultációs lehetőségek
Zh-k és vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetett időpontban.
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Mezei István, Faragó István, Simon Péter: Bevezetés az analízisbe, Typotex, 2013.
R. B. Ash, W. P. Novinger: Complex Variables: Second Edition, Dover Publications, 2007.
A. N. Kolmogorov, Sz. V. Fomin: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei, Typotex E-könyv.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
14
16.3 Felkészülés zárthelyire
14
16.4 Zárthelyik megírása
4
16.5 Házi feladat elkészítése
14
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
48
16.9 Összesen
150
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Andai Attila
egyetemi docens
Analízis és Operációkutatás Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Andai Attila