Algebrai struktúrák alapfogalmainak ismerete.

TTK Matematika BSc képzés Elméleti specializációjának kötelező és a Matematikus Msc felvezető tantárgya.

Testbővítések, szorzattétel, egyszerű algebrai bővítések konstrukciója és egyértelműsége, véges és algebrai bővítések. Normál is bővítés, felbontási test, szeparábilis bővítés, véges testek, Wedderburn-tétel. Galois-csoport, a körosztási polinom irreducibilitása, primitív n-edik egységgyökkel való bővítés Galois-csoportja. Galois-kapcsolat, A Galois-elmélet főtétele. A Galois-elmélet alkalmazásai: az algebra alaptétele, szerkeszthetőség, gyökjelekkel való megoldhatóság, Abel-Ruffini-tétel. Algebrai lezárt létezése és egyértelműsége, transzcendens bővítés, e transzcendenciája, a Gelfand–Schneider-tétel.
Számelméleti alapfogalmak ismétlése, az Euler-féle ϕ-függvény. Lineáris kongruenciák és kongruenciarendszerek, magasabb fokú binom kongruenciák, diszkrét logaritmus, prímhatvány modulusú kongruenciák. Másodfokú kongruenciák, Legendre- és Jacobi-szimbólum, kvadratikus reciprocitás. Prímszámok: végtelen sok prím van, a prímek közti hézagok, Csebisev-tétel, prímek reciprokösszege, Dirichlet-tétel (nk + 1)-re.
Számelméleti függvények: d(n), σ(n), ϕ(n). Multiplikativitás, konvolúció, összegzési függvény multiplikativitása, Möbius-függvény, megfordítási- tétel. Prímszámtétel, n-edik prím nagyságrendje, prímtesztek, Rabin–Miller-teszt, RSA-függvény. Diofantoszi egyenletek: lineáris diofantoszi egyenletek megoldása, pitagoraszi számhármasok, kétnégyzetszám-tétel, Gauss-egészek.

Field extensions, construction and uniqueness of simple algebraic extensions, finite and algebraic extensions. Normal extensions, splitting field, separable extension, finite fields, Wedderburn's theorem, Galois group, irreducibility of the cyclotomic polynomials, Galois groups of radical extensions, Galois correspondence, Fundamental theorem of Galois theory. Applications of Galois theory: Fundamental theorem of algebra, ruler and compass constructions, solvability of equations by radicals, Abel–Ruffini theorem. Existence and uniqueness of algebraic closure, transcendental extensions, transcendence of e, Gelfand-Schneider theorem.
Review of the basic concepts of number theory, Euler ϕ function. Linear congruences and systems of congruences, binomial congruences of higher degree, discrete logarithm, congruences of prime power moduli. Quadratic congruences, Legendre and Jacobi symbol, quadratic reciprocity. Prime numbers: Euclid's theorem, gaps between primes, Chebyshev's theorem, harmonic series of primes, Dirichlet's theorem for (nk + 1).
Arithmetic functions: d(n), σ(n), ϕ(n). Multiplicativity, convolution, Möbius function, the Möbius inversion formula. Prime number theorem, magnitude of the nth prime, prime tests, Rabin–Miller test, RSA function. Diophantine equations: linear diophantine equations, Pythagorean triples, Fermat's two squares theorem, Gaussian integers.

Mindkét zárthelyi dolgozat egy alkalommal pótolható.

Az oktatóval egyeztetve

Kiss Emil: Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007

Fuchs László: Algebra, Nemzeti tankönyvkiadó, 2000

Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó 2000.

I. Stewart: Galois Theory, CRC Press, 2003.

56

24

26

4

0

0

0

40

150

150

Dr. Kiss Sándor

egyetemi docens

BME TTK Algebra és Geometria Tanszék

Dr. Hegedüs Pál