Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETESZBsMMVAE-00
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe A modern valószínűségszámítás eszközei
2. A tárgy angol címe Tools of Modern Probability Theory
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 4 + 0 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM29 Valószínűségszámítás 1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Tóth Imre Péter beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2026.05.18. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2026.05.20.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
differenciál- és integrálszámítás, a lineáris algebra, a mértékelmélet, komplex függvénytan és a kombinatorika alapjai / Differential and integral calculus, linear algebra, measure theory, complex function theory and combinatorics
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika BSc képzés Sztochasztika sávjának kötelező tárgya
11. A tárgy részletes tematikája

A tárgy célja a modern valószínűségszámításban használt legfontosabb kombinatorikai, lineáris algebrai, valós függvénytani, m értékelméleti, komplex függvénytani, funkcionálanalízis-beli és geometriai eszközök megtanítása.
Példákon keresztül bemutatjuk ezek valószínűségszámításbeli alkalmazását, de a hangsúly az eszköztár kifejlesztésén van. A me gszerzett tudás egy részét az MSc képzésben fogjuk hasznosítani.
Kombinatorika: Generátorfüggvény-módszer. Stirling formula, Euler Gamma-függvény. Topológia: Konvergencia metrikus téren és topológikus téren. Kompaktság. Szorzattér, szorzat-topológia, Tyihonov tétel. Lineáris algebra: Belső szorzatterek, Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség. Mátrixok hatványozása, analitikus mátrix-kalkulus. (Alkalmazás: Markov átmenetvalószínűségek.) Függvénytranszformációk: Laplace-transzformáció. Fourier-sorfejtés, Fourier-transzformáció, diszkrét Fourier-transzformáció. (Alkalmazás: karakterisztikus függvény.) Legendre transzformáció. Mértékelmélet: Integrálás és deriválás felcserélhetősége. Egyenletes konvergencia és folytonosság. (Alkalmazás: karakterisztikus függvény differenciálhatósága.) Jensen-egyenlőtlenség. Abszolut folytonosság, Radon-Nikodym tétel. (Alkalmazás: feltételes várható érték.) Mértékek előretoltja, helyettesítéses integrál. (Alkalmazás: Valószínűségi változók eloszlása, eloszlások várható értéke.) Szorzattér, szorzatmérték. Fubini tétel. (Alkalmazás: függetlenség.) Mértékek dekompozíciója, feltételes mérték, faktormérték. Komplex függvénytan: Reziduum -tétel, Laurent sorfejtés. (Alkalmazás: konvolóciók és karakterisztikus függvények számolása.) Analitikus kiterjesztés, Vitali tétel. Funkcio nálanalízis: Korlátos operátorok spektruma, rezolvens, spektrálsugár. Hahn-Banach tétel. C^k terek, Arsela-Ascoli tétel. Folytonos lineáris funkcionálok, Riesz-Markov tétel. Duális terek, gyenge csillag topológia, feszesség. Fourier-transzformáció még egyszer, Riesz-Fischer tétel.

The aim of the course is to teach the most important combinatorics, linear algebra, real function theory, set theory, complex function theory, functional analysis and geometric tools used in modern probability theory.
We will demonstrate their application in probability theory through examples, but the emphasis is on developing the toolbox. Part of the acquired knowledge will be utilized in the MSc training.
Combinatorics: Generating function method. Stirling formula, Euler Gamma function. Topology: Convergence in metric space and topological space. Compactness. Product space, product topology, Tikhonov's theorem. Linear algebra: Inner product spaces, Cauchy-Schwarz inequality. Matrix exponentiation, analytic matrix calculus. (Application: Markov transition probabilities.) Function transforms: Laplace transform. Fourier series expansion, Fourier transform, discrete Fourier transform. (Application: characteristic function.) Legendre transform. Measure theory: Interchangeability of integration and differentiation. Uniform convergence and continuity. (Application: differentiability of characteristic function.) Jensen's inequality. Absolute continuity, Radon-Nikodym theorem. (Application: conditional expectation.) Pushforward of measures, integration with substitution. (Application: Distribution of probability variables, expected value of distributions.) Product space, product measure. Fubini's theorem. (Application: independence.) Decomposition of measures, conditional measure, factor measure. Complex function theory: Residue theorem, Laurent series expansion. (Application: calculation of convolutions and characteristic functions.) Analytic extension, Vitali's theorem. Functional analysis: Spectrum of bounded operators, resolvent, spectral radius. Hahn-Banach theorem. C^k spaces, Arsela-Ascoli theorem. Continuous linear functionals, Riesz-Markov theorem. Dual spaces, weak star topology, tightness. Fourier transform once again, Riesz-Fischer theorem.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Rendszeresen beadandó házi feladatok vizsga-
időszakban		 Vizsga
13. Pótlási lehetőségek
TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
vizsga előtti konzultáció
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Járai Antal: Mérték és integrál
Rudin: Functional Analysis
az előadó jegyzetei
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
17
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
23
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
54
16.9 Összesen
150
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Tóth Imre Péter
egyetemi docens
Sztochasztika Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Ráth Balázs