Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETESZBsMVSZ2-00
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Valószínűségszámítás 2
2. A tárgy angol címe Probability Theory 2
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 3 + 1 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM29 Valószínűségszámítás 1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Bárány Balázs beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2026.05.18. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2026.05.20.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
bevezető valószínűségszámítás, haladó anlízis
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika BSc képzés Sztochasztika sávjának kötelező tárgya.
11. A tárgy részletes tematikája

Diszkrét és abszolút folytonos konvolúció. Gamma eloszlás, Poisson folyamat. Alkalmazások. Generátorfüggvény. Alkalmazások: Galton-Watson folyamat, bolyongás elérési ideje, rekurrencia/tranziencia.
Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Nagy számok gyenge törvénye. Alkalmazások. Borel-Cantelli lemma. Nagy számok erős törvénye negyedik momentummal. Kolmogorov egyenlőtlenség. Kolmogorov három-sor-tétel.
Nagy számok erős törvénye, első momentummal.
Chernoff-Hoeffding korlát, Bernstein-egyenlőtlenség. Nagy eltérések: Cramér-tétel.
Karakterisztikus függvény. Alaptulajdonságok. Momentum-probléma. Regularitás. Inverzió. Valószínűségi eloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség, Helly-Prohorov-tétel.
Lévy-féle folytonossági tétel.
Centrális határeloszlás-tétel teljes pompájában.

Discrete and absolutely continuous convolution. Gamma distribution, Poisson process. Applications. Generating function. Applications: Galton-Watson process, random walk hitting time, recurrence/transience.
Markov and Chebyshev inequality. Weak law of large numbers. Applications. Borel-Cantelli lemma. Strong law of large numbers with fourth moment. Kolmogorov's inequality. Kolmogorov three-series theorem.
Strong law of large numbers, with first moment.
Chernoff-Hoeffding bound, Bernstein's inequality. Large deviations: Cramér's theorem.
Characteristic function. Basic properties. Momentum problem. Regularity. Inversion. Weak convergence of probability distributions. Tightness, Helly-Prohorov theorem.
Lévy's continuity theorem.
Central limit theorem in all its full glory.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Kettő zárthelyi dolgozat és házi feladatok heti rendszerességgel. vizsga-
időszakban		 Írásbeli vizsga
13. Pótlási lehetőségek
Be nem nyújtott házifeladatok utólag NEM pótolhatók. Pót ZH lehetőség a félév végén. Gyak IV a vizsgaidőszak elején
14. Konzultációs lehetőségek
A TVSZ szerint
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó 1972
Richard Durrett: Probability Theory with Examples. (4th edition, Cambridge U. Press, 2010)
az előadó jegyzetei
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
20
16.3 Felkészülés zárthelyire
16
16.4 Zárthelyik megírása
3
16.5 Házi feladat elkészítése
36
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
19
16.9 Összesen
150
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Tóth Bálint
egyetemi tanár
Sztochasztika Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Ráth Balázs