BMETEMIMsVMIMA-00

Nyomtatóbarát változatNyomtatóbarát változat
Tantárgy azonosító adatok
A tárgy címe: 
A mesterséges intelligencia matematikai alapjai
A tárgy angol címe: 
Mathematical Principles of AI
A tárgy rövid címe: 
AMesterségesIntelligenciaMatAlap
3
0
0
v
Kredit: 
5
A tantárgy felelős tanszéke: 
Matematika Intézet
A tantárgy felelős oktatója: 
Dr. Lovas Attila
A tantárgy felelős oktatójának beosztása: 
egyetemi docens
Akkreditációs adatok
Akkreditációra benyújtás időpontja: 
2025.12.23.
Akkreditációs bizottság döntési időpontja: 
2026.01.05.
Tematika
A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: 
Egy- és többváltozós analízis, lineáris algebra, alapvető valószínűségszámítás és statisztika ismeretek
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában: 
VIK Mesterséges intelligencia informatikus MSc képzés kötelező tárgya
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul: 
  1. Vektorterek és a lineáris algebra alapjai: Vektortér és duáltere, belső szorzatos terek, ortogonalitás, Gram-mátrix, mátrixok tenzorszorzata.
  2. Spektrálkalkulus és SVD: Szimmetrikus mátrixok spektráltétele, szingulárisérték-felbontás (SVD), Moore–Penrose-féle pszeudoinverz, alacsony rangú közelítések, alkalmazások a gépi tanulásban (pl. PCA).
  3. Hilbert-terek: Gram–Schmidt-ortogonalizáció, absztrakt Fourier-sorok, legjobb közelítés Hilbert-terekben, ortogonális felbontás.
  4. Reprodukáló magterű Hilbert-terek (RKHS) alapjai: Riesz-féle reprezentációs tétel, reprodukáló magterű Hilbert-terek, Moore–Aronszajn-tétel.
  5. Kernel módszerek matematikai alapjai: Mercer-tétel, kernel trick, reprezentációs tétel (Representer theorem), alkalmazások kernel-alapú tanulóalgoritmusokban.
  6. Normált terek: Normált terek, normák ekvivalenciája véges dimenzióban, operátornorma példákkal.
  7. Metrikus terek: Metrikus terek fogalma, szeparabilitás, teljesség, kontrakciók, Banach-féle fixponttétel, kompaktság metrikus terekben.
  8. Mértékelméleti és valószínűségi alapok: Borel-szigmaalgebra, standard Borel-terek, Borel-izomorfizmus-tétel. Távolságok valószínűségi eloszlások között: teljes variációs távolság, Kantorovich–Rubinstein-távolság, optimális transzport alapjai, Wasserstein-terek.
  9. Approximációelmélet: Polinomiális és Fourier-közelítés, Stone–Weierstrass-tétel, Kolmogorov–Arnold-tétel, univerzális approximációs tétel (sekély neurális hálók).
  10. Differenciálhatóság normált terekben: láncszabály, magasabb rendű deriváltak, Taylor-formula (infinitézimális alak), mátrixfüggvények deriválása, példák (pl. egyszerű feedforward háló transzferfüggvénye).
  11. Konvex analízis és gradiens-alapú optimalizálás: Konvex halmazok és függvények, gradiensmódszer, konjugált gradiens és skálázott konjugált gradiens, Newton-módszer.
  12. Feltételes szélsőérték és konvex optimalizálás: Lagrange-multiplikátorok módszere, KKT-feltételek, dualitás, LASSO regresszió.
  13. Sztochasztikus optimalizálás: Szimulált hűtés, népszerű gépi tanulási optimalizálók elvei (SGD, SGLD, ADAM, SAGA).
  14. Variációs inferencia, variációs Bayes-módszerek, evidence lower bound (ELBO).

 

  1. Vector spaces and foundations of linear algebra: Vector spaces and their duals, inner product spaces, orthogonality, Gram matrix, tensor product of matrices.
  2. Spectral calculus and SVD: Spectral theorem for symmetric matrices, singular value decomposition (SVD), Moore–Penrose pseudoinverse, low-rank approximations, applications in machine learning (e.g. PCA).
  3. Hilbert spaces: Gram–Schmidt orthogonalization, abstract Fourier series, best approximation in Hilbert spaces, orthogonal decompositions.
  4. Foundations of reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS): Riesz representation theorem, reproducing kernel Hilbert spaces, Moore–Aronszajn theorem.
  5. Mathematical foundations of kernel methods: Mercer’s theorem, kernel trick, representer theorem, applications in kernel-based learning algorithms.
  6. Normed spaces: Normed spaces, equivalence of norms in finite-dimensional spaces, operator norms with examples.
  7. Metric spaces: Definition of metric spaces, separability, completeness, contractions, Banach fixed point theorem, compactness in metric spaces.
  8. Measure-theoretic and probabilistic foundations: Borel sigma-algebra, standard Borel spaces, Borel isomorphism theorem. Distances between probability distributions: total variation distance, Kantorovich–Rubinstein distance, basics of optimal transport, Wasserstein spaces.
  9. Approximation theory: Polynomial and Fourier approximation, Stone–Weierstrass theorem, Kolmogorov–Arnold theorem, universal approximation theorem (shallow neural networks).
  10. Differentiability in normed spaces: Chain rule, higher-order derivatives, Taylor formula (infinitesimal form), differentiation of matrix-valued functions, examples (e.g. transfer function of a simple feedforward network).
  11. Convex analysis and gradient-based optimization: Convex sets and convex functions, gradient descent, conjugate gradient and scaled conjugate gradient methods, Newton’s method.
  12. Constrained extrema and convex optimization: Method of Lagrange multipliers, KKT conditions, duality, LASSO regression.
  13. Stochastic optimization: Simulated annealing, principles of popular optimization algorithms in machine learning (SGD, SGLD, ADAM, SAGA).
  14. Variational inference: Variational Bayesian methods, evidence lower bound (ELBO).
Követelmények szorgalmi időszakban: 
egy zárthelyi dolgozat
Követelmények vizsgaidőszakban: 
írásbeli és szóbeli vizsga
Pótlási lehetőségek: 
pótzárthelyi a pótlási héten
Konzultációs lehetőségek: 
Az előadások után vagy az oktató fogadóóráján
A tárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
Kontakt óra: 
42
Félévközi felkészülés órákra: 
42
Felkészülés zárthelyire: 
18
Zárthelyik megírása: 
0
Házi feladat elkészítése: 
0
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló): 
0
Egyéb elfoglaltság: 
0
Vizsgafelkészülés: 
48
Összesen: 
150
Ellenőrző adat: 
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
Név: 
Dr. Lovas Attila
Beosztás: 
egyetemi docens
Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.): 
Analízis és Operációkutatás Tanszék
A tanszékvezető neve: 
Dr. Bálint Péter