A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:
valószínűségszámítás, kombinatorika, analízis, differencálegyenlet és komplex függvénytan alapok
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában:
TTK Matematikus PhD képzés kötelezően választható tárgya
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul:
Az elmúlt tíz év óriási fejlődést hozott a síkbeli kritikus sztochasztikus folyamatok megértésében, amit a Schramm-Loewner Egyenlet bevezetése, Wendelin
Werner és Stanislav Smirnov Fields-medáljai is mutatnak. A kurzus tehát a modern matematika rendkívül aktív területére kíván bepillantást nyújtani.
– A Fortuin-Kasteleyn véletlen fürt modell és speciális esetei: perkoláció, – Smirnov tétele az Ising-spin és Ising-FK modellek konforminvarianciájáról. véletlen egyenletes eloszlású feszítőfák, Ising- és Potts-modellek. Szabad- és RSW-típusú tételek
rövidre zárt peremfeltételes végtelen térfogat limesz-mértékek, fázisátmenetek. – Wilson algoritmusa a véletlen egyenletes eloszlású feszítőfa generálására; a
– FKG-Harris és van den Berg-Kesten korrelációs egyenlőtlenségek. hurok-törölt bolyongás (loop-erased random walk).
– Bitek hatása Boole-függvényekre: Russo-formula, Bourgain-Kahn-Kalai- – Schramm-Loewner Egyenlet bevezetése.
Katznelson-Linial-tétel, Graham-Grimmett-féle általánosítás (többnyire – Az SLE néhány alaptulajdonsága, Bessel-folyamatok segítségével. bizonyítás nélkül). – Perkoláció kritikus exponensek számolása SLE segítségével.
– Kritikus perkoláció alaptételei: Russo-Seymour-Welsh és Harris-Kesten Kitekintés néhány haladóbb témára:
tételek (a perkolációs valószínűség folytonossága p_c-ben). – Közelkritikus modellek: Kesten-féle skálázási összefüggések perkolációban,
– Kritikus perkoláció konform-invarianciája: Cardy-formula, S. Smirnov tétele. Onsager kontra pivotális pontok az Ising-modellben, minimális feszítőfa.
– Síkbeli bolyongás univerzalitása, a Brown-mozgás konforminvarianciája, a – Dinamikus perkoláció: zaj-érzékenység, Fourier-spektrum, kivételes szabad Gauss-mező (Gaussian Free Field) konforminvarianciája. időpontok, Incipient Infinite Cluster
– Diszkrét komplex analízis. – Ising-modell Glauber-dinamikájának keverési idej
– Dominó-csempézések magasságfüggvénye, Kasteleyn-Temperley-Fisher- – Az SLE-k mint a GFF szintvonalai. Véletlen síkgráfok, Liouville kvantum technika, Kenyon tételének kimondása GFF-hez tartásról. gravitáció, KPZ-reláció
Követelmények szorgalmi időszakban:
8 HF beadása egy hosszabb listáról
Követelmények vizsgaidőszakban:
Konzultációs lehetőségek:
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
H. Duminil-Copin, S. Smirnov. Conformal invariance of lattice models. Clay Institute Summer School in Buzios, 2010. arXi
C. Garban, J. Steif. Lectures on noise sensitivity and percolation. Clay Institute Summer School in Buzios, 2010. arXiv:
G. Grimmett. The random-cluster model. Springer, Berlin, 2006.
Nyomtatóbarát változat
