A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:
lineáris algebra, analízis
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában:
Szabadon választható tárgy
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul:
-
Négy és több dimenziós terek (Hogyan "képzeli el" a matematika, négydimenziós kocka, n-elemű halmaz részhalmazhálója, az n-dimenziós kocka élhálója, n-dimenziós szimplex. Forgatás a sík körül 4-dimenziós térben. n-dimenziós gömbfelület elképzelése.)
-
Téridő (A newtoni és az einsteini téridőmodell geometriai összehasonlítása, ugyanott és ugyanakkor fogalma a newtoni, avagy a józan paraszti ész szerinti, világképben, geometriai modell. Fényterjedés abszolút volta és ennek következményei. Az abszolút egyidejűség elvetése, geometriai modell. Megfigyelők szerinti egyidejűség. Az ikerparadoxon és a vonat-alagút paradoxon részletes vizsgálata a geometriai kép alapján.)
-
Projektív geometria (Kúpszeletek, hasonló tulajdonságok, vetületek. "Végtelen távoli" egyenes bevezetése. Másodfokú egyenletek és kúpszeletek kapcsolata a végtelen távoli egyenes segítségével.)
-
Véges affin és projektív geometriák (Hogyan tervezzünk Dobblét? Magasabb dimenziós véges projektív geometriák.)
-
Felületek topológiája (A topológia alapgondolata. Érdekesebb objektumok: Möbius-szalag, Klein-kancsó, tórusz, több génuszú felületek és tulajdonságaik. Felületek osztályozása. A projektív sík helye az osztályozásban. 3-dimenziós térbeli megvalósulások: keresztsapka, Boy-felület. Magasabb dimenziók, S3 tórusz felbontása, a "tökéletes ölelés".)
-
Egy kis algebra: ami ugyanúgy viselkedik, az ugyanaz. (Formális számolások, permutációk és szimmetriák, szavak összefűzése, szabadcsoportok, csoportok prezentálása.)
-
Topológia és csoportok. (Terek fundamentális csoportja, kép felfüggesztése két szögre, lyukas tórusz pereme, mint kommutátor. A projektív sík fundamentális csoportja. Univerzális fedés.)
-
SO(n), az n-dimenziós tér forgatásainak csoportja. (SO(2) és SO(3) topológiája, SO(3) fundamentális csoportja.)
-
SU(2) topológiája, a a kvantumfizikai spin és a Hopf-fibrálás kapcsolata.
-
4-dimenziós szabályos testek kapcsolata az SU(2)->SO(3) fedéssel.
-
Az Euler-tétel utóélete. (Euler poliédertétel, felületek Euler-karakterisztikája, CW-komplexusok, Sündisznó-tétel, Poincaré-Hopf tétel. A Hopf-nyaláb Euler-száma (1. Chern-szám))
-
A zene végtelen dimenziói. (Fourier-sorok, mint koordináták végtelen dimenziós terekben. Felhangok, hangszín és zenei skálák.)
-
Fraktálok: önhasonlóság és tört dimenzió. (Dimenzió fogalom a hossz, terület, térfogat viselkedése alapján, önhasonló konstrukciók, ezek dimenziójának kiszámolása.)
Követelmények szorgalmi időszakban:
Az előadások minimum 70%-án való részvétel, és a kitűzött feladatok megoldása.
Követelmények vizsgaidőszakban:
Megajánlott jegy a beküldött feladatmegoldások alapján vagy szóbeli vizsga
Konzultációs lehetőségek:
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
Pintér Gergő: Új világok teremtése - Geometriai képzetek és képződmények
Jeffrey R. Weeks: A tér alakja
Nyomtatóbarát változat
