Rövid történeti áttekintés, a valós számok kialakulása, az infinitezimális mennyiség fogalma.
Az elmélet tárgyalása elsőrendű logikában. Nem-standard bővítés a kompaktsági tétel segítségével, konkurrencia fogalma. Az elsőrendű nyelv szerepe. A nem-standard egész számok struktúrájáról, néhány számelméleti alapfogalom. Nem-standard bővítés ultrahatványok segítségével. Modellek elemi kiterjesztésének fogalma. A "permanencia elv"-ről. A nem-standard számok szemléletes fogalmáról, analógiák a valós számok bevezetésével, a racionálisok teljessé tételének eljárásával. Az elmélet tárgyalása egy másodrendűvé kibővített logikában. Elsőrendű ultrahatvá-
nyok bővítése. A belső halmazok algebrája. Korlátos belső halmaznak van supremuma. Belső halmazok szaturáltsága. A szóban forgó másod -
rendű logika nyelve és a belső halmazok definiálhatósági tulajdonsága. Hiper-végesség fogalma, hiper-véges összegek. A tárgyalás vázlata a típus logikában illetve annak megfelelő többfajtájú logikában – mint a másodrendű eset általánosítása. A Henkin féle gyenge modell fogalma. Magasabbrendű struktúrák beágyazásai gyenge magasabb rendű struktúrákba úgy, hogy az eredetin konkurrens formula-halmazok kielégíthetők legyenek. Kapcsolatok a halmazelmélettel, tranzitivitás, meghatározottsági tulajdonság.
Az axiomatikus tárgyalás. Az axiómák és a típuslogikai tárgyalás kapcsolata. A klasszikus analízis alapfogalmai: Folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság. Az integrál, mint hiper-véges összeg. Alkalmazások a végtelen kombinatorikában, Ramsey elmélet és Ramsey tétel. Optimalizálási problémákkal kapcsolatos alkalmazások. Véletlen struktúrák, 0-1 törvények.
Nem-standard mértékelmélet. Loeb mértékek, hiper-véges Loeb terek, a végtelen egyenletes valószínűség eloszlás. A Lebesgue mérték nem- standard bevezetése. Nem-standard mértékek a valószínűség elméletben. A Poisson folyamat és a Brown mozgás nem-standard bevezetése.