
Kvantummechanika, szilárdtestfizika, és csoportelmélet témakörök mély ismerete
Numerikus számolásokkal való tapasztalat (python, matlab, vagy valamilyen más programnyelv)
A Brown [1] és Zak[2,3] által leírt mágneses transzlációs csoport részletes betekintést nyújt a kvantum-Hall effektus fizikájába. A mágneses transzlációs csoport előírja, hogy az ilyen fizikai rendszerek csak bizonyos alakú hullámfüggvényekkel (ún. mágneses Bloch-függvényekkel) írhatók le. A topologikus fizika témakört beindító első topológiai invariáns, a TKNN-invariáns[4], amely a kvantum-Hall effektus kvantált természetét fejezi ki. A TKNN-invariáns a mágneses transzlációs csoport fogalomra épül, a Hall vezetőképességet leíró invariáns egy olyan Kubo formula, amelyben az áram-áram korrelációs függvény számolása mágneses Bloch-függvények esetére történik. A mágneses transzlációs csoportot később Ashby és Miller[5] fejlesztette tovább, ők olyan rendszerekre általánosították ezt a fogalmat, amelyben a homogén mágneses téren kívül egy homogén elektromos tér is jelen van.
A szigetelő anyagok az elektromos tér hatására megváltoztatják a polarizációjukat. Szilárd anyagok esetében a tömbpolarizáció leírása nem triviális, a polarizáció ez esetben egy Berry-Zak[6,7] féle geometriai fázis. Ez a modern polarizáció elmélet [8,9] fő állítása. E tézis egyik célja, hogy elvi alapon megvizsgálja a kapcsolatot az elektromos-mágneses transzlációs csoport és a modern polarizáció elmélet leírások között. Itt a vizsgálat célja, hogy az Ashby-Miller féle csoport irreducibilis ábrázolásaiból követekző szabályok milyen kikötéseket szabnak a kristályok polarizációjának esetében.
További cél, a modern polarizáció elmélet módszereinek kiterjesztése a kvantum-Hall rendszerek esetére. A modern polarizáció elmélet az egyik transzláció operátor (lendület-eltolás operátor) használatára alapszik. A kvantum Hall esetben nyilvánvaló, hogy fontos szerepet játszik a lendület-eltolás operátoron kívül a pozíció-eltolás operátor is, és a fizikai effektus leírása a két transzláció operátor együttes felhasználásával kell, hogy történjen. A dolgozat eme része alkalmazott jellegű, itt a polarizáció és az áram mennyiségek kiszámolása a cél két dimeziós rácsmodellek esetén, amelyek homogén mágneses és/vagy elektromos tér alatt vannak.
[1] E. Brown, Phys. Rev. 133 A1038 (1964).
[2] J. Zak, Phys. Rev., 134 A1602 (1964).
[3] J. Zak, Phys. Rev. 134 A1607 (1964).
[4] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett., 49 405 (1982).
[5] N. Ashby and S. C. Miller, Phys. Rev., 139 A428 (1965).
[6] M. V. Berry, Proc. Roy. Soc. London A392, 45-57 (1984).
[7] J. Zak, Phys. Rev. Lett., 62 2747 (1988).
[8] R. D. King-Smith and D. Vanderbilt, Phys. Rev. B, 47 1651 (1992).
[9] R. Resta, J. Phys.: Condens. Mat., 12 R107 (2000).