Komplex analízis. Deriválás, Cauchy--Riemann-egyenletek, harmonikus és analitikus függvények. Szingularitások osztályozása, Taylor- és Laurent-sorok, reziduum. Komplex vonalintegrál, az integrál függetlensége az úttól, Cauchy-formulák, Liouville-tétel.  Komplex integrálok kiszámítása paraméterezéssel, primitív függvénnyel, és reziduummal. Valós integrálok kiszámítása komplex függvénytani eszközökkel. A mátrixexponenciális függvény.
Hilbert-terek. Ortogonalitás, súlyozott L²-terek, Gram--Schmidt-ortonormalizáció. Szimmetrikus operátorok sajátérték-feladatai véges és végtelen dimenzióban. Ortonormált sajátbázisok és az ezek szerinti sorfejtések: klasszikus és általánosított Fourier-sorok. A Sturm--Liouville-elmélet elemei, állandó és függvényegyütthatós differenciáloperátorok, a Laplace-operátor egy és több dimenzióban különféle tartományokon. A trigonometrikus rendszer és néhány speciális függvény: Bessel-függvények, Legendre-polinomok.
Elsőrendű lineáris és nemlineáris parciális differenciálegyenletek. Megoldás a karakterisztikák módszerével.
Másodrendű állandó együtthatós lineáris parciális differenciálegyenletek. Egzisztencia és unicitás, kezdeti és peremfeltételek (Dirichlet, Neumann, Robin, periodikus), homogén és inhomogén egyenletek, osztályozás (elliptikus, parabolikus, hiperbolikus egyenletek), a stacionárius megoldás fogalma. Különféle szimbolikus megoldási technikák (a változók szétválasztása, majd általánosított Fourier-sorfejtés; Laplace-transzformáció; Fourier-transzformáció; Green-függvények; d'Alembert-formula; a tartomány konform transzformációja). Példák: Laplace-, hővezetési és hullámegyenletek, egy, két vagy három térdimenzióban (szakaszon, félegyenesen, egyenesen, téglalapon, körlapon, sávon, félsíkon, téglatesten, gömbön). Kitekintés: negyedrendű egyenletek, nemlineáris egyenletek (a KdV-egyenlet, utazó hullámok). A megoldások numerikus approximációja: a véges differenciák módszere, a sémák stabilitása.

A tárgy keretében a hallgatók áttekintést kapnak a Wolfram Mathematica programcsomag használatáról: az összes előadás és gyakorlat anyaga programkódokat, ábrákat és interaktív animációkat tartalmazó notebook-ok formájában áll rendelkezésre.