1. Sorozatok.
Valós sorozat határértéke és a határérték elemi tulajdonságai. Monoton, szigorúan monoton, korlátos sorozat fogalma és tulajdonságai. Részsorozat. Majoráns és minoráns kritérium. Rendőr-elv. Nevezetes határértékek (n^q, , q^n, n^(1/n), (1+1/n)^n). Limesz inferior és szuperior definíciója és tulajdonságai. Cauchy-sorozat fogalma. Cauchy-kritérium kimondása.
2. Valós függvények.
Elemi függvények (exp, sin és cos) kiterjesztése valós számokra és ezen függvények tulajdonságai. Elemi függvények inverzeinek (log, arcsin, arccos és arctg) definíciója. A hiperbolikus függvények és inverzeinek definíciója és tulajdonságaik. Páros, páratlan, (szigorúan) monoton növő/csökkenő, konkáv/konvex és periodikus függvény fogalma. Jensen-egyenlőtlenség. Függvény határértéke és a határérték elemi tulajdonságai. Bal és jobb oldali határérték, kapcsolatuk a határértékkel. Függvény folytonossága. Folytonos függvények összege, számszorosa, szorzata és kompozíciója folytonos függvény. Weierstrass-féle maximum-minimum elv kimondása. Bolzano-tétel kimondása. Egyenletes folytonosság fogalma, Heine-tétel kimondása.
3. A differenciálszámítás alapjai.
A differenciálás fogalma és a függvény deriváltja. A folytonosság kapcsolata a differenciálhatósággal. Elemi függvények deriváltja és differenciálási szabályok. Középértéktételek: Rolle, Lagrange, Cauchy. L'Hospital-szabály. Az n-szer és a végtelenszer differenciálható függvény fogalma. Folytonosan differenciálható függvények. Monotonitás kapcsolata a deriválttal. Konvexitás/konkavitás kapcsolata a deriválttal. Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség. Hölder-egyenlőtlenség és Minkowski-egyenlőtlenség. Taylor-sorfejtés. Binomiális sorfejtés. Lokális szélsőérték fogalma és kapcsolta a függvény magasabbrendű deriváltjaival. Függvényelemzés.
4. Határozatlan integrál.
Határozatlan integrál fogalma és elemi határozatlan integrálok. Helyettesítéses és parciális integrálás. Parciális törtekre bontás. Racionális függvények integrálása.
5. Elemi integrálszámítás.
Felosztás fogalma. Adott felosztáshoz tartozó alsó, felsõ közelítõ összeg és oszcillációs összeg. Korlátos függvény alsó és felső integrálja. Riemann-integrálhatóság definíciója. Newton-Leibniz-tétel kimondása. Integrálszámítás alkalmazása: görbe ívhossza, súlypontja; síkidom súlypontja; forgástest térfogata, felszíne és súlypontja. Papposz-Guldin-tétel. Improprius integrál. Majoráns és minoráns kritérium improprius integrálra.
1. Sequences.
The limit of a real sequence and the elementary properties of the limit. Monotone, strictly monotone, bounded sequences and their properties. Subsequences. Comparison test for sequences. Sandwich theorem. Elementary limits (n^q, , q^n, n^(1/n), (1+1/n)^n). Definition and properties of limes inferior and superior. Concept of Cauchy sequences. Cauchy criterion (WP).
2. Real functions.
Extension of elementary functions (exp, sin and cos) to real numbers and the properties of these functions. Definition of inverses of elementary functions (log, arcsin, arccos and arctg). Definition and properties of hyperbolic functions and their inverses. Concepts of even, odd, (strictly) monotonically increasing/decreasing, concave/convex and periodic functions. Jensen inequality. The limit of a function and the elementary properties of the limit. Left and right limit and their relationship with the limit. Continuity of a function. The sum, product and composition of continuous functions are continuous functions. Weierstrass' maximum-minimum principle (WP). Bolzano's theorem (WP). Concept of uniform continuity and Heine's theorem (WP).
3. Basics of differential calculus.
The concept of differentiation and the derivative of a function. The relation between continuity and differentiability. Derivatives of elementary functions and differentiation rules. Intermediate value theorems: Rolle, Lagrange, Cauchy. L'Hospital rule. Concept of n times and infinitely differentiable function. Continuously differentiable functions. Connection between monotonicity and the derivative. Connection between convexity/concavity and the second derivative. Inequality between arithmetic mean and geometric mean. Hölder's inequality and Minkowski's inequality. Taylor series analysis. Binomial series. The concept of local extreme value and its connection with higher-order derivatives. Graphing of functions using first and second order derivatives.
4. Indefinite integral.
Concept of indefinite integral and elementary indefinite integrals. Substitution and partial integration. Partial fractions. Integration of rational functions.
5. Elementary integral calculus.
Concept of partition. Lower and upper Riemann sums and the oscillatory sum of a function for a given partition. Lower and upper integrals of a bounded function. Definition of Riemann integrability. Newton-Leibniz theorem (WP). Application of integral: arc length and centroid of a curve; centroid of plane figure; volume, surface area and centroid of surface and solid of revolution. Pappus–Guldinus theorem. Improper integral. Comparison test for improper integrals.
Nyomtatóbarát változat
