A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:
Elemi ismeretek csoportelméletből, lineáris algebrából és a metrikus terek elméletéből.
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában:
TTK Matematikus MSc képzés kötelezően választható tárgya
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul:
Csoport ábrázolása. Nem elfajult, ciklikus és unitér ábrázolás. Ábrázolások összege és szorzata. Konjugált ábrázolás. Ábrázolás algebrai és geometriai irreducibilitása. Összekötő operátorok. Unitér ekvivalens és diszjunkt ábrázolások. Féldirekt szorzat. Galilei- és Poincaré-csoport mint féldirekt szorzat. Topologikus csoport. Topologikus csoport elemi topologikus tulajdonságai. Topologikus csoport topologikus és folytonos ábrázolása. Unitér ábrázolás folytonosságának jellemzése. Csoport algebrai és topologikus duálisa. Féldirekt szorzat csoportok ábrázolása. Adott csoporthatás esetén a pálya/orbit és stabilizátor fogalma, valamint a csoporthatás tranzitivitása. Radon-mérték lokálisan kompakt téren. Adott topologikus ábrázolás esetén a Radon-mérték invarianciája és topologikus kváziinvarianciája. Haar-mérték. Moduláris függvény. Szorzás, involúció és norma a mértékalgebrán. Balreguláris ábrázolás. A harmonikus analízis alaptétele. Kompakt csoport jellemzése Haar-mértékkel és az ortogonalitási relációk.
Representation of a group. Non-degenerate, cyclic and unitary representation. Sum and product of representations. Conjugate representation. Algebraic and geometric irreducibility of representation. Interwining operators. Unitary equivalent and disjoint representations. Semidirect product. Galilei and Poincaré groups as semidirect products. Topological group. Elementary topological properties of topological groups. Topological and continuous representation of topological groups. Characterization of the continuity of unitary representations. Algebraic and topological dual of a group. Representation of semidirect product groups. The concept of group action, trajectory/orbit, stabilizer and transitivity of the actiont. Radon measure on a locally compact space. Invariance and topological quasi-invariance of the Radon measure for a given topological representation. Haar measure. Modular function. Multiplication, involution and norm on the measure algebra. Left regular representation. Connection between the representation of the group and the representation of the measure algebra. Characterization of compact groups with Haar measure and orthogonality relations.
Követelmények szorgalmi időszakban:
Házi feladatok megoldása és órákon való részvétel.
Követelmények vizsgaidőszakban:
Írásbeli vagy szóbeli vizsga.
Konzultációs lehetőségek:
Félév közben vagy vizsga előtt, a hallgatókkal egyeztetett időpontban.
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
Edwin Hewitt, Kenneth A. Ross. Abstract Harmonic Analysis 1. (2nd ed. Springer, 1994.)
Gerald B. Folland. A Course in Abstract Harmonic Analysis (Studies in Advanced Mathematics). (CRC Press, 1994.)
Walter Rudin. Fourier Analysis on Groups. (Wiley, 1962.)
Nyomtatóbarát változat
