1. Határozott integrál.
Adott felosztáshoz tartozó alsó, felső közelítő összeg és oszcillációs összeg. Alsó és felső integrál. Riemann-integrálhatóság. Minden folytonos és minden monoton függvény Riemann-integrálható. Newton-Leibniz-tétel. Az integrálfüggvény definíciója és tulajdonságai.
2. Folytonos lineáris leképezések.
Normált terek között ható lineáris leképezés folytonossága. Az operátornorma és a folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Minden véges dimenziós téren értelmezett lineáris leképezés folytonos. Carl Neumann-sor. Véges dimenziós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Borel-Lebesgue-tétel véges dimenziós normált térre. Példa nem folytonos lineáris leképezésre és nem ekvivalens normákra.
3. Függvénysorozatok.
Pontonkénti határfüggvény, illetve pontonkénti összegfüggvény. Függvénysor abszolút konvergenciája. Függvénysorozat és függvénysor pontonkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Weierstrass tétele (függvénysorok egyenletes konvergenciájáról). Hatványsorok, Cauchy-Hadamard-tétel és Abel-tétel. Függvénysorozat tagonkénti integrálhatósága és differenciálhatósága (valós-valós függvényekre). Diagonalizálható mátrix függvénye. Normális mátrix függvénye.
4. Fourier-sorfejtés.
Fourier-együtthatók és sorfejtés. Integrálható függvény Fourier-együtthatóinak konvergenciája. Kétszer folytonosan differencilható függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez.
5. Komplex függvénytan.
Komplex függvény differenciálhatósága és deriváltja. Cauchy-Riemann-egyenletek. Holomorf, reguláris és harmonikus függvény. Szakaszonként folytonosan differenciálható görbe és folytonos komplex függvény görbementi integrálja. Newton-Leibniz-tétel. Goursat-lemma. Görbe indexfüggvénye. Az indexfüggvény tulajdonságai. Kontúrhomotóp görbék. Egyszeresen összefüggő halmaz. Cauchy tétele kontúrhomotóp görbéken számolt integrálról. Cauchy integrálformulái. Differenciálható függvény analitikussága és a Taylor-sorfejtés konvergenciasugarának maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele. Morera-tétele. Cauchy-egyenlőtlenség. Liouville-tétel és az algebra alaptétele. Holomorf függvények gyökeinek tulajdonságai és a gyökök multiplicitása. Lokális maximum elve. Laurent-sorfejtés. Függvény szingularitása, n-ed rendű pólusa és lényeges szingularitása. Reziduum-tétel.
1. Definite integral.
Lower and upper Riemann sums and the oscillatory sum of a function for a partition of an interval. Upper and lower Riemann integrals of a function. Riemann integrable functions. Every continuous and monotone function is Riemann integrable. Newton-Leibniz theorem. Integral function and its properties.
2. Continuous liner maps.
Operator norm and the properties of the space of continuous linear maps. Linear maps with finite dimensional domains are continuous. Carl Neumann series. Norms are equivalent on finite dimensional vector spaces. Borel-Lebesgue theorem for finite dimensional vector spaces. Examples for not continuous linear map and for not equivalent norms.
3. Sequences and series of functions.
Pointwise limit of a sequence or series of functions. Pointwise, uniform and locally uniform convergence of a sequence or series of functions. Absolute convergence of a series of functions. Weierstrass criterion. Power series, Cauchy-Hadamard and Abel's theorem on uniform convergence of power series. Interchanging differentiation and the limit, integration and the limit. Term-by-term differentiability and integrability of a series of functions. Function of diagonalizable matrices, function of normal matrices.
4. Fourier series.
Fourier coefficients, Fourier series. The Fourier series of a twice continuously differentiable periodic function converges uniformly to the function.
5. Theory of complex functions.
Holomorphic functions, harmonic functions, Cauchy-Riemann equations. Piecewise continuously differentiable curves, complex path integrals. Primitive function. Newton-Leibniz theorem. Goursat's lemma. The index of a point with respect to a curve, properties of the index function. Homotopy equivalence of curves. Simply connected sets. Cauchy's integral theorem for homotopy equivalent curves and Cauchy integral formulas. Every holomorphic function is analytic. Taylor series expansion, radius of convergence. Riemann's theorem on removable singularities. Morera's theorem. Cauchy inequality. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Zeroes of holomorphic functions, multiplicity of zeroes. Maximum principle. Laurent series. Poles of holomorphic function: removable, with finite order and essential. Residue theorem.
Nyomtatóbarát változat
