1. Lineáris terek (algebrai duális, lineáris leképezések, lineáris leképezések mátrixa). 2. Lineáris terek tenzorszorzata (szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, determináns). 3. Normált terek (példák, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenségek, lineáris leképezések folytonossága és korlátossága, operátor  normája). 4. Banach-terek (abszolút konvergens sorok konvergenciája, az exponenciális függvény, Neumann-sor). 5. Nevezetes tételek Banach-terekben (nyílt leképezések tétele, zárt gráf tétel, egyenletes korlátosság tétele). 6. Duális tér (Hahn-Banach-tétel,  L_p-terek duálisa, a folytonos függvények terének duálisa). 7. Hilbert-tér (ortonormált bázis, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs  tétel). 8. Ortogonális polinomok (Hermite- és Legendre-polinomok). 9. Hilbert-terek és lineáris operátorok  tenzorszorzata (az algebrai tenzorszorzat és Hilbert-terek tenzorszorzata közötti különbség, L_2-terek tenzorszorzata). 10. Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja,  önadjungált operátorok, unitér operátorok, projekciók, példák). 11. Topológiák (gyenge topológia Hilbert-téren, az erős és gyenge operátortopológia, unitér operátorok topologikus csoportja). 12. Korlátos operátor spektruma (a spektrum részei, spektrálsugár, rezolvens). 13. Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Riesz-Schauder tétel, Hilbert-Schmidt-féle integráloperátor). 14. Fourier-transzformáció (az L_1-téren, kiterjesztése az L_2-tér unitér operátorává). 15. Nemkorlátos operátorok (az adjungált, szimmetrikus operátorok, példák). 16. A spektráltétel 17. Egyparaméteres unitér csoportok.