Akkreditációra benyújtás időpontja:
2023.03,01.
Akkreditációs bizottság döntési időpontja:
2023.03.24.
A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:
Egyváltozós analízis, lineáris algebra
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában:
TTK Fizikus-mérnök BSc képzés kötelező tárgya
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul:
Az n-dimenziós euklideszi tér, többváltozós függvények: skaláris szorzás és az indukált euklideszi norma Rn-en. Cauchy-Schwartz egyenlőtlenség. A norma alaptulajdonságai. Példák: p-normák Rn-en. Az n-dimenziós euklideszi tér topológiája (nyílt, zárt, kompakt halmazok, belső pont, határpont), Cauchy sorozatok, Rn teljessége. Borel-Lebesgue tétel kompakt halmazokra (esetleg biz. nélkül). Függvény határértéke, folytonossága. Folytonosság topologikus jellemzése, folytonos függvény szinthalmazainak nyíltsága, zártsága. Konvex halmazok, külső pont és konvex halmaz szeparációja, diszjunkt konvex halmazok szeparációja (esetleg biz. nélkül).
Többváltozós differenciálhatóság: differenciálható függvény, parciális és iránymenti deriváltak, gradiens, érintősík. Jacobi-mátrix, Jacobi-determináns, láncszabály. Folytonos differenciálhatóság, többszörös deriválás, Young tétele, Taylor formula (különösen másodrendben). Multilineáris leképezés pozitív, negatív definitsége. Konvex függvények és kapcsolatuk a második derválttal. Lokális szélsőérték, jellemzése a függvény deriváltjaival. Feltételes szélsőérték, Lagrange-multiplikátor. Banach-féle fixpont-tétel, inverzfüggvény-tétel, implicitfüggvény-tétel. Rotáció, divergencia, nabla-szimbólum, Laplace-operátor. Potenciálfüggvény létezése.
Többváltozós integrálás, vektoranalízis: a Jordan mérték definíciója és tulajdonságai (bizonyítások nélkül), többváltozós folytonos függvény integrálása normáltartományon. Helyettesítéses integrálás, polár- és gömbi koordinátás helyettesítés. Vonalmenti és felületi integrálás. Gauss-Osztrogradszkij és Stokes tétele, Green-tételek (az integráltételek bizonyítása csak szemléletesen történik).
Függvénysorozatok és függvénysorok: a pontonkénti határfüggvény, illetve a pontonkénti összegfüggvény, függvénysor abszolút konvergenciája, függvénysorozat és függvénysor egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere a sup-normával, Weierstrass-kritérium. A differenciálás illetve integrálás felcserélhetősége a limesszel, függvénysorok tagonkénti differenciálása és integrálása. Ismétlés: hatványsorok tulajdonságai.
Fourier-sorfejtés: Fourier-együtthatók, Fourier-sor. Tétel a kétszer folytonosan differenciálható periodikus függvények Fourier-soráról.
The n-dimensional Euclidean space, functions of several variable: Scalar product and the induced Euclidean norm on Rn. Cauchy-Schwarz inequality. The basic properties of the norm. Examples: p-norms on Rn. Topology of Rn: open, closed, compact sets, interior, boundary. Cauchy sequences, completeness of Rn. Borel-Lebesgue theorem for compact sets (possibly without proof). Limits and continuity of functions of several variable. The topological characterization of continuity, the level sets of continuous functions are open or closed. Convex sets, separation of convex sets and an exterior point, separation of two disjoint convex bodies (possibly without proof).
Differentiation of functions of several variable: Differentiable functions. Partial derivatives, gradient, tangent hyperplane, Jacobi matrix, Jacobi determinant, chain rule. Continuously differentiable functions, higher order derivatives, Young theorem, Taylor formula (specifically of order two). Multilinear mappings, positive and negative definite mapping. Convex functions and the second derivative. Local maximum, minimum and connection to the derivatives. Conditional maxima and minima, Lagrange multiplier. Banach fixpoint theorem, inverse function theorem, implicit function theorem. Rotation, divergence, nabla symbol, Laplace operator. The existence of scalar potential.
Integration of functions of several variable: Definition and properties of the Jordan measure (without proofs). Integration of a continuous function of several variable on an n-dimensional domain. Integration by substitution: polar coordinates, spherical coordinates. Integration along a path, and along a surface. Divergence theorem, Stokes theorem, Green theorems, (the proof of these theorems is only sketched).
Function sequences and series: Pointwise convergence of a sequence or series of functions. Absolute convergence of a series of functions. Uniform and locally uniform convergence. The space of continuous functions with the sup-norm. Weierstrass criterion. Interchanging differentiation and the limit, integration and the limit. Term-by-term differentiability and integrability of a series of functions. Recall: properties of power series.
Fourier series: Fourier coefficients, Fourier series. The Fourier series of a twice continuously differentiable periodic function converges uniformly.
Követelmények szorgalmi időszakban:
Zárthelyi dolgozatok teljesítése
Követelmények vizsgaidőszakban:
Írásbeli és szóbeli vizsga
Pótlási lehetőségek:
A TVSZ szerint
Konzultációs lehetőségek:
Az oktatóval egyeztetve
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
Frank R. Giordano, Joel Hass, George B. Thomas, Maurice D. Weir: Thomas-féle kalkulus 3, Typotex kiadó, 2008, ISBN: 978-963-279-438-9
Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Valós analízis 2, Typotex kiadó, 2012, ISBN: 978-963-2797-33-5.
Kontakt óra:
84
Félévközi felkészülés órákra:
56
Felkészülés zárthelyire:
48
Zárthelyik megírása:
4
Házi feladat elkészítése:
0
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló):
0
Egyéb elfoglaltság:
0
Vizsgafelkészülés:
48
Összesen:
240
Ellenőrző adat:
240
Név:
Dr. Matolcsi Máté
Beosztás:
egyetemi tanár
Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.):
Analízis Tanszék
A tanszékvezető neve:
Dr. Andai Attila