Skaláris szorzat és tulajdonságai R^n-ben. Ortogonális és ortonormált bázis, Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció, ortogonális mátrixok, ortogonális transzformációk. Householder-tükrözés, Givens-forgatás. QR-felbontás létezése és kiszámítása. Lineáris egyenletrendszerek optimális megoldása QR-felbontással. Skaláris szorzás C^n-ben. Unitér, normális és önadjungált mátrixok és transzformációk. Mátrixok és transzformációk sajátértéke, sajátvektora, sajátaltere. Karakterisztikus egyenlet, sajátérték-feladat megoldása. Alkalmazások. Algebrai és geometriai multiplicitás, speciális mátrixok sajátértékei, hasonló mátrixok sajátértékei. Cayley-Hamilton tétel. Mátrixok diagonalizálhatósága és ekvivalens megfogalmazásai (valós és komplex eset), speciális mátrixok diagonalizálhatósága, összefüggés a sajátértékekkel, unitér és ortogonális diagonalizálhatóság, Schur-felbontás, spektrálfelbontás.

Bilineáris formák, standard alak, szignatúra, főtengelytétel. Kvadratikus alakok definitsége. Lokális szélsőértékek osztályozása, geometriai alkalmazások és szemléltetés. Multilineáris függvények és leképezések, a totális derivált mint multilineáris függvény, többváltozós Taylor-formula, a determináns mint multilineáris függvény. Szinguláris értékek szerinti felbontás, polárfelbontás, az SVD alkalmazásai, általánosított inverz az SVD-ből. Mátrixok normálformái, létezés, egyértelműség és kiszámítás, általánosított sajátvektorok, Jordan-lánc és Jordan-bázis. Valós és komplex vektorok normái, mátrixnormák, alaptulajdonságok és kiszámítás, mátrixok függvényei (konvergencia csak említés és illusztráció szintjén), mátrixok exponenciális függvényei. Vektorterek tetszőleges test felett. Bázis létezése, dimenzió, végtelen dimenziós példák (függvényterek, stb.), vektorterek izomorfiája. Euklideszi tér fogalma, tulajdonságai, izomorfiája. Duális tér. Véges test feletti vektorterek kódelméleti, kriptográfiai, kombinatorikai alkalmazásai.

Scalar product and its properties in R^n. Orthogonal and orthonormal bases, Gram-Schmidt orthogonalization, orthogonal matrices, orthogonal transformations. Householder reflection, Givens rotation. Existence and determination of QR decomposition. Optimal solution of a linear systems of equations using QR decomposition. Scalar product in C^n. Unitary, normal and self-adjoint matrices and transformations. Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of matrices and transformations. Characteristic polinomial, solution of the eigenvalue problem. Applications. Algebraic and geometric multiplicity, eigenvalues of special matrices, eigenvalues of similar matrices. Cayley-Hamilton theorem. Diagonalizability of matrices and equivalent formulations (real and complex case), diagonalizability of special matrices, relation with eigenvalues, unitary and orthogonal diagonalizability, Schur decomposition, spectral decomposition.

Bilinear functions, standard form, signature, principal axis theorem. Definition of quadratic forms. Classification of local extrema, geometric applications and illustration. Multilinear functions and maps, the total derivative as a multilinear function, multivariable Taylor formula, the determinant as a multilinear function. Singular Value Decomposition, polar decomposition, applications of SVD, pseudoinverse from SVD. Normal forms of matrices, existence, uniqueness and determination, generalized eigenvectors, Jordan chain and Jordan basis. Norms of real and complex vectors, matrix norms, basic properties and determination, functions of matrices (convergence only at the level of mention and illustration), exponential functions of matrices. Vector spaces over arbitrary fields. Existence of basis, dimension, infinite dimensional examples (function spaces, etc.), isomorphism of vector spaces. Concept, properties, isomorphism of Euclidean spaces. Dual space. Applications of vector spaces over finite fields in code theory, cryptography, combinatorics.