1. Halmazelméleti alapok.
Alapvető logikai jelek és tulajdonságaik. Igazságtábla. Alapvető halmazelméleti műveletek (unió, metszet, hatványhalmaz) és tulajdonságaik. Cantor-tétele (nem létezik minden halmazok halmaza). Halmazok Descartes-szorzata. Reláció és függvény. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete, inverze, megszorítása és kompozíciója. Injektív, szürjektív és bijektív függvény. Halmazrendszerek, metszetük, uniójuk és Descartes-szorzatuk. Kiválasztási axióma. Reflexív, antiszimmetrikus, szimmetrikus és tranzitív relációk. Ekvivalenciareláció és rendezés. Rendezett halmazban részhalmaz alsó/felső korlátja, legkisebb/legnagyobb eleme, minimális/maximális eleme és infimuma/szuprémuma. Lineáirsan és induktívan rendezett halmaz. Kuratowski-Zorn-lemma (NB). Ekvivalenciarelációval való faktorizálás.
2. Számosságok.
Két halmaz számosságának összehasonlítása. Bármely két halmaz számosság tekintetében összehasonlítható. Schröder-Bernstein-tétel (NB). Végtelen, véges, megszámlálható, megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosságú halmazok. Megszámlálhatóan végtelen halmazok alaptulajdonságai. Kontinuum hipotézis.
3. Számok.
Valós számok axiómái. Valós számok teljesen rendezettek. Valós számok létezésének és egyértelmûségének tétele (NB). Műveletek tulajdonságai az axiómák alapján. Arkimédészi módon rendezett test. A valós számok halmaza arkhimédészi módon rendezett. Komplex számok és műveletei.
4. A valós számok topológiája.
Nyílt, zárt és korlátos halmazok és ezek alaptulajdonságai. Belső, határ, torlódási és izolált pont. Halmaz lezártja és belseje, ezek tulajdonságai. Sűrű halmaz. A racionális számok halmaza sűrű a valós számok halmazában. Cantor-féle közösrész-tétel a valós számok halmazán. Kompakt halmaz. Borel-Lebesgue-tétel valós számokra. Sorozatokra vonatkozó Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Bolzano-Weierstrass-tétel. Cauchy-kritérium. Cauchy-szorzat. Mertens-tétel. Valós és komplex értékű hatványsor definíciója, konvergencia sugara és az elemi Cauchy-Hadamard-tétel. Elemi függvények hatványsor definíciója. Euler-formula. Függvény határértéke és folytonossága. A folytonosság topologikus jellemzése. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Weierstrass-féle maximum-minimum elv. Bolzano-tétel. Egyenletes folytonosság és Heine tétele az egyenletes folytonosságról.
5. Metrikus terek és normált terek.
5.1. Metrikus tér. Normált tér. Norma által generált metrika. A p-norma véges dimenziós téren. Nyílt, zárt és korlátos halmazok és ezek alaptulajdonságai. Belső, határ, torlódási és izolált pont. Halmaz lezártja és belseje, ezek tulajdonságai. Ekvivalens metrikák. Sűrű halmaz. Sorozat határértéke metrikus térben. Halmaz lezártjának jellemzése sorozatokkal. Cauchy-sorozat. Teljes metrikus tér.
5.2. Kompakt halmaz. Cantor-féle közösrésztétel. Borel-Lebesgue-tétel. Lebesgue-lemma. Bolzano-Weierstrass-tétel.
5.3. Függvény határértéke és a határérték elemi tulajdonságai. Függvény folytonossága. Folytonos függvények összege, számszorosa, szorzata és kompozíciója folytonos függvény. Átviteli elv folytonosságra. A folytonosság topologikus jellemzése. Homeomorfizmus. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Weierstrass-féle maximum-minimum elv. Egyenletes folytonosság, Heine-tétel. Lipschitz-folytonos függvény. Kontrakció. Banach-féle fixponttétel. Összefüggő és ívszerűen összefüggõ halmazok.
5.4. Hilbert-tér, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség, teljes ortonormált rendszer, vektor kifejtése teljes ortonormált rendszerben, Parseval-egyenlőség.
5.5. Véges dimenziós euklidészi térben a konvex halmazok, külső pont és konvex halmaz szeparációja, diszjunkt konvex halmazok szeparációja.
1. Foundations of set theory.
Basic logic operations and their properties. Truth table. Basic set theory operations (union, intersection, power set) and their properties. Cantor's theorem (the set of all sets does not exist). Cartesian product of sets. Relations and functions. Domain, range, inverse, restriction and composition of relations and functions. Injective, surjective and bijective functions. Family of sets, their intersection, union and Descartes product. Axiom of choice. Reflexive, antisymmetric, symmetric and transitive relations. Equivalence relation and ordering. The lower/upper limit, smallest/largest element, minimum/maximum element and infimum/supreme of a subset in an ordered set. Linearly and inductively ordered set. Kuratowski-Zorn lemma (WP). Factorization with equivalence relation.
2. Elementary cardinal numbers.
Comparing sets according to their cardinality. Any two sets be compared in terms of cardinality. Schröder-Bernstein theorem (WP). Sets with infinite, finite, countable, countably infinite and continuum cardinality. Basic properties of countably infinite sets. Continuum hypothesis.
3. Real and complex numbers.
Axioms of real numbers. Real numbers are completely ordered. Existence and uniqueness theorem of real numbers (WP). The set of real numbers is an Archimedean ordered field. Complex numbers and their operations.
4. The topology of real numbers.
Open, closed and bounded sets and their properties. Inner, boundary, accumulation and isolated points of a set. Interior and the closure of a set. Dense set. Rational numbers are dense in the set of reals. Cantor's intersection theorem for bounded closed sets. Compact sets. Borel-Lebesgue theorem in the set of reals. Bolzano-Weierstrass theorem about convergent subsequence and compact sets in reals. Cauchy sequences and Cauchy's criterion for convergence. Cauchy product of series. Mertens theorem. Power series, radius of convergence and the Cauchy-Hadamard theorem. Power series definition of elementary functions. Euler's formula. Limits and continuity of functions. The topological characterization of continuity. Weierstrass extreme value theorem. Intermediate value theorem for continuous functions. Uniform continuity and the Heine-Cantor theorem about uniform continuity.
5. Metric and normed spaces.
5.1. Metric and norm. Metric induced by norm. The p-norm on finite dimensional vector spaces. Open, closed and bounded sets and their properties. Inner, boundary, accumulation and isolated points of a set. Interior and the closure of a set. Equivalent metrics. Dense set. Limit of sequences. Cauchy sequences and complete metric spaces.
5.2. Compact sets. Cantor's intersection theorem. Borel-Lebesgue theorem for finite dimensional Euclidean spaces. Bolzano-Weierstrass theorem.
5.3. Limit and continuity of functions. The set of continuous functions is closed for addition, (scalar) multiplication and composition. Continuity equivalent to Heine's continuity definition. Topological characterization of continuity. Homeomorphism. Weierstrass extreme value theorem. Uniform continuity and Heine-Cantor theorem about uniform continuity. Contraction mapping. Banach fixed point theorem. Connected and path connected sets.
5.4. Hilbert space, Cauchy-Schwarz inequality, complete orthonormal set of vectors, Fourier expansion of vectors in a complete orthonormal basis and Parseval inequality.
5.5. Convex sets, separation of convex sets and an exterior point, separation of two disjoint convex bodies in finite dimensional Euclidean spaces.
Nyomtatóbarát változat
