1. Sorok.
Valós sor konvergenciája és elemi tulajdonságai. Abszolút konvergens sorok. Minden abszolút konvergens sor konvergens. Konvergencia-kritériumok: majoráns/minoráns, kondenzációs, gyök és hányados kritérium. Leibniz-sor és konvergenciája hibataggal.
2. Az n-dimenziós euklidészi tér geometriájának alapjai.
Az n-dimenziós euklidészi tér vektormûveletei: összeadás, számmal való szorzás és skaláris szorzás. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma fogalma. Skaláris szorzás által indukált norma. Vektoriális szorzás a háromdimenziós euklidészi térben és a vektoriális szorzás tulajdonságai.
3. Elemi többváltozós differenciálszámítás.
Parciális derivált. Függvény deriváltja. Függvények Jacobi-mátrixa és Jacobi-determinánsa. Függvények összegének, szorzatának és kompozíciójának deriváltja. Iránymenti derivált. Kapcsolat a függvény deriváltja, iránymenti deriváltja és folytonossága között. Függvény gradiense, divergenciája, rotációja. Nabla-szimbólum és Laplace-operátor. Érintősík. Függvény lokális (szigorú) maximuma/minimuma. Függvény lokális szelsőértékének jellemzése a függvény deriváltjaival. Függvény lokális maximuma és minimuma adott feltétel mellett. A feltételes szélőérték létezésének szükséges feltétele. Lagrange-multiplikátor.
4. Elemi többváltozós integrálszámítás.
Polár, henger és gömbi koordináták és Jacobi-determinánsuk. Henger, kúp, gömbrészlet, paraboloid és hiperboloid paraméterezése. Térgörbe ívhossza. Sík, illetve térbeli tartományon vett integrálás szemléletes bevezetése. Integrálás normáltartományokon, két- és háromdimenziós integrálok felírása szukcesszív egydimenziós integrálokkal. Integrálások sorrendjének a felcserélése. Felület normálvektora és felszíne. Tértatomány térfogata. Gauss-Osztrogradszkij-tétel. Stokes-tétel.
1. Series.
The convergence of a real series and its elementary properties. Absolutely convergent series. All absolutely convergent series are convergent. Convergence tests: comparison, condensation, root and ratio test. Leibniz series and its convergence with error term.
2. The n-dimensional Euclidean space.
Vector operations of the n-dimensional Euclidean space: addition, multiplication by scalar and scalar product. Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky inequality. Angle between two vectors. The concept of norm. Norm induced by scalar product. Cross product in the three-dimensional Euclidean space and its properties.
3. Elementary multivariable differential calculus.
Partial derivative. Derivative of a function. Jacobi matrix and Jacobi determinant. Derivatives of sum, product and composition of functions. Directional derivative. The connections between the differentiability, the existence of all directional derivatives, the continuity of the partial derivatives and the continuity of the function. Gradient, divergence and rotation of a function. Nabla symbol and Laplace operator. Tangent plane. Local (strict) maximum/minimum of a function. Characterization of the local extreme value of a function with the derivatives of the function. Local maximum and minimum of a function subject to equation constraints. Lagrange multiplier.
4. Elementary multivariable integral calculus.
Polar, cylindrical and spherical coordinates and their Jacobian determinants. Parameterization of cylinder, cone, spherical part, paraboloid and hyperboloid. Arc length of space curves. An illustrative introduction to integration on two and three dimensional domains. Integration on normal domains, writing two- and three-dimensional integrals as successive one-dimensional integrals. Changing the order of integrations. The area and the normal vector of a surface. Volume of a region in three-dimensional space. Gauss's theorem. Stokes' theorem.
Nyomtatóbarát változat
