1. Mérték.

Félgyűrű, (szigma) gyűrű és (szigma) algebra. Halmazrendszer által generált (szigma) gyűrű és (szigma) algebra. Mérhető tér. Metrikus tér Borel halmazai. Halmazfüggvény, (szigma) additív, (szigma) szub/szuper-additív halmazfüggvény. Mérték, mértéktér. Nulla mértékű halmazok és tulajdonságaik. Szigma-véges, véges, valószínűségi és teljes mérték. Külső mérték. Caratheodory tétele. Mérték teljessé tevése. Lebesgue-féle külső mérték és Lebesgue-mérték a valós számok halmazán. Lebesgue nulla mértékű halmazok. Borel és Lebesgue-mérhető kapcsolata. Nem Lebesgue-mérhető halmaz létezése. Monoton növő függvényhez asszociált Lebesgue-Stieltjes-mérték. Mérték konstruálása: pl. Hausdorff-mérték.

 

2. Mérhető függvények.

Mérhető függvény, mérhető függvények összege, szorzata és hányadosa mérhető. Mérhető és Borel-mérhető függvény kompozíciója mérhető. Mérhető függvények sorozatának szuprémuma, infimuma, limesz inforiorja és szuperiorja, valamint határértéke mérhető. Majdnem mindenütt fogalma. 

 

3. Integrálás mértéktérben.

Egyszerű lépcsős függvények. Integrálható függvények és az integrálás tulajdonságai. Főbb integráltételek: Beppo Levi tétele, Fatou tétele és a Lebesgue-féle dominált konvergencia tétele. Paraméteres integrálok: határértéke, folytonossága és differenciálhatósága. Az Lp-terek definíciója. Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség. Riesz-Fischer-tétel. Függvénysorozat mértékbeni konvergenciája. Jegorov és Luzin tétele.

 

4. Mértékek szorzata és felbontása. 

Monoton osztály tétel. Mértékterek szorzata. Bármely két mértéktérnek létezik szorzatmértéke. Szigma-véges mértékterek szorzatmértéke egyértelmű. Fubini-tétel. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek. Lebesgue-féle felbontási tétel szigma-véges előjeles mértékre. Radon-Nikodym tétel szigma-véges mértékekre.

 

 

1. Measure.

Semiring, (sigma) ring and (sigma) algebra. Generated (sigma) ring and (sigma) algebra by a collection of sets. Measurable space. Borel sets in metric space.  Set function, (sigma) additive, (sigma) sub- and super-additive set functions. Measure, measure space. Negligible (null) sets and their properties. Sigma-finite, finite, probability and complete measures. Outer measure. Caratheodory's theorem. Completion of a measure. Lebesgue outer measure and Lebesgue measure on reals. Lebesgue negligible sets. Connection between Borel and Lebesgue measurable sets. Existence of not Lebesgue measurable set. Lebesgue-Stieltjes measure associated to monotone increasing function. Construction of measures: Hausdorff measure.

 

2. Measurable functions.

Measurable function, the sum, product and quotient of measurable functions are measurable. Composition of Borel measurable and measurable function is measurable. The supremum, infimum, limes inforior, limes superior and limit of the sequence of measurable functions are measurable. The notion of almost everywhere.

 

3. Integral in measure space.

Simple step functions. Integrable functions and the properties of integration. Main integral theorems: Beppo Levi's theorem, Fatou's theorem and Lebesgue's dominated convergence theorem. Parametric integrals: limit, continuity and differentiability. Definition of Lp-spaces. Hölder and Minkowski inequality. Riesz-Fischer theorem. Convergence in measure of a series of functions. Theorem of Yegorov and Luzin.

 

4. Product measures and decompositions of measures.

Monotone class theorem. Product of measure spacess. Any two measure spaces have a product measure. The product measure of sigma-finite measure spaces is unique. Fubini theorem. Absolute continuous and singular measures. Lebesgue's decomposition theorem for sigma-finite signed measure. Radon-Nikodym theorem for sigma-finite measures.