A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:
reprezentációelmélet alapjai
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában:
Matematikus és Fizikus MSc szakok szabadon választható tárgya
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul:
A kompakt Lie-csoportok immár egy évszázada alapvető szerepet játszanak mind a modern matematikában, mind a modern elméleti fizikában. A
tárgy célja egyrészt a kompakt Lie-csoportok szerkezetének tanulmányozása algebrai ill. topológiai szempontból, másrészt pedig véges dimenziós komplex reprezentációik leírása a klasszikus elmélet alapján. Ezzel a reprezentációelmélet modernebb tárgyalását (geometriai kvantálás) i s előkészíti.
1. Lie-csoportok: definíciója; egyparaméteres részcsoportok; Lie-részcsoportok, példák Lie-csoportokra.
2. Elemi reprezentáció-elmélet: komplex reprezentáció definíciója, irreducibilis reprezentációk; duális, konjugált, direkt-összeg, tenzor-szorzat reprezentációk; az invariáns integrálás kompakt csoportokon, reprezentációk teljes dekomponálhatósága; Lie-csoport reprezentáció-gyűrűje; reprezentáció karaktere; tóruszok reprezentációi.
3. A Peter–Weyl-tétel: Reprezentatív- és osztályfüggvények; kompakt önadjungált operátorok spektrál-elmélete; a Peter–Weyl-tétel; alkalmazás:
kompakt Lire-csoportok beágyazhatósága unitér csoportokba.
4. Maximális tóruszok: Maximális tórusz fogalma, gyökrendszerek, példák; kompakt Lie-csoportok lefedése konjugált tóruszokkal; a Weyl-csoport.
5. A Stiefel-diagram és a kompakt Lie-csoportok topológiája: Stiefel-diagram definíciója; 1(G) és 2(G) = 0; a Weyl-kamrák; súlyok; a Dynkin- diagram.
6. Reprezentáció-elmélet: Weyl integrál-formulája; klasszikus Lie-csoportok komplex irreducibilis reprezentációi.
Követelmények vizsgaidőszakban:
Konzultációs lehetőségek:
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
J. F. Adams: Lectures on Lie Groups, Univ. Chicago Press, 1969.
Th. Bröcker, T. tomDieck: Representations of Compact Lie Groups, GTM 98, Springer 1985.
W. Fulton, J. Harris: Representation Theory, GTM 129, Springer 1991.
Nyomtatóbarát változat
