A tárgy célja a modern valószínűségszámításban használt legfontosabb kombinatorikai, lineáris algebrai, valós függvénytani, m értékelméleti, komplex függvénytani, funkcionálanalízis-beli és geometriai eszközök megtanítása.
Példákon keresztül bemutatjuk ezek valószínűségszámításbeli alkalmazását, de a hangsúly az eszköztár kifejlesztésén van. A me gszerzett tudás egy részét az MSc képzésben fogjuk hasznosítani.
Kombinatorika: Generátorfüggvény-módszer. Stirling formula, Euler Gamma-függvény. Topológia: Konvergencia metrikus téren és topológikus téren. Kompaktság. Szorzattér, szorzat-topológia, Tyihonov tétel. Lineáris algebra: Belső szorzatterek, Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség. Mátrixok
hatványozása, analitikus mátrix-kalkulus. (Alkalmazás: Markov átmenetvalószínűségek.) Függvénytranszformációk: Laplace-transzformáció. Fourier-sorfejtés, Fourier-transzformáció, diszkrét Fourier-transzformáció. (Alkalmazás: karakterisztikus függvény.) Legendre transzformáció. Mértékelmélet: Integrálás és deriválás felcserélhetősége. Egyenletes konvergencia és folytonosság. (Alkalmazás: karakterisztikus függvény
differenciálhatósága.) Jensen-egyenlőtlenség. Abszolut folytonosság, Radon-Nikodym tétel. (Alkalmazás: feltételes várható érték.) Mértékek
előretoltja, helyettesítéses integrál. (Alkalmazás: Valószínűségi változók eloszlása, eloszlások várható értéke.) Szorzattér, szorzatmérték. Fubini tétel. (Alkalmazás: függetlenség.) Mértékek dekompozíciója, feltételes mérték, faktormérték. Komplex függvénytan: Reziduum -tétel, Laurent sorfejtés. (Alkalmazás: konvolóciók és karakterisztikus függvények számolása.) Analitikus kiterjesztés, Vitali tétel. Funkcio nálanalízis: Korlátos operátorok spektruma, rezolvens, spektrálsugár. Hahn-Banach tétel. C^k terek, Arsela-Ascoli tétel. Folytonos lineáris funkcionálok, Riesz-Markov tétel. Duális terek, gyenge csillag topológia, feszesség. Fourier-transzformáció még egyszer, Riesz-Fischer tétel.