1. Valós számok topológiája.
Nyílt, zárt és korlátos halmazok. Halmaz belseje és lezártja. Sűrű halmaz. A racionális számok halmaza sűrű a valósak körében. Cantor-féle közösrész tétel korlátos zárt halmazokra. Kompakt halmazok. Borel-Lebesgue tétel valósakra. Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Bolzano-Weierstrass-tétel. Cauchy-sorozatok és Cauchy-kritérium.
2. Valós-valós függvények.
Hatványsorok, konvergencia sugár és a Cauchy-Hadamard tétel. Elemi függvények hatványsor definíciója. Euler-formula. Függvény határértéke és folytonossága. A folytonosság topologikus jellemzése. Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt. Weierstrass-féle maximum-minimum elv. Bolzano-tétel. Egyenletes folytonosság és Heine tétele az egyenletes folytonosságról.
3. Metrikus és normált terek.
3.1. Skaláris szorzás véges dimenziós euklidészi téren. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Norma. A norma elemi tulajdonságai. Pl.: p-norma.
3.2. Metrikus terek. Norma által indukált metrika. Nyílt, zárt és korlátos halmaz metrikus térben. Halmaz lezártja és belseje. Sűrű halmaz. Cauchy-sorozat. Teljes metrikus tér. Kompakt halmazok. Cantor-féle közösrész tétel. Borel-Lebesgue-tétel. Bolzano-Weierstrass-tétel. Függvény határértéke és folytonossága. A folytonosság topologikus jellemzése. Weierstrass-tétel. Kontrakció. Banach-féle fixpont tétel.
3.3. Skaláris szorzás és az általa indukált norma. Hilbert-tér, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség, teljes ortonormált rendszer, vektor kifejtése teljes ortonormált rendszerben. Bessel-egyenlőtlenség és Parseval-egyenlőség.
3.4. Véges dimenziós euklidészi térben a konvex halmazok, külsõ pont és konvex halmaz szeparációja, diszjunkt konvex halmazok szeparációja.
1. The topology of real numbers.
Open, closed and bounded sets. Interior and the closure of a set. Dense set. Rational numbers are dense in reals. Cantor's intersection theorem for bounded closed sets. Compact sets. Borel-Lebesgue theorem in the set of real numbers. Bolzano-Weierstrass theorem about convergent subsequence and compact sets in the reals. Cauchy sequences and Cauchy's criterion for convergence.
2. Functions on the real numbers.
Power series and the Cauchy-Hadamard theorem. Definition of elementary function with power series. Euler's formula. Limits and continuity of functions. The topological characterization of continuity. Weierstrass extreme value theorem. Intermediate value theorem for continuous functions. Uniform continuity and the Heine-Cantor theorem about uniform continuity.
3. Metric and normed spaces.
3.1. Scalar product and the induced Euclidean norm on finite dimensional vector spaces. Cauchy-Schwarz inequality. Norm on vector spaces. The basic properties of the norm. Example: p-norm.
3.2. Metric spaces. Metric induced by norm. Open, closed and bounded sets in metric spaces. Interior and the closure of a set. Dense set. Cauchy sequences and complete metric spaces. Compact sets. Cantor's intersection theorem. Borel-Lebesgue theorem for finite dimensional Euclidean spaces. Bolzano-Weierstrass theorem. Limits and continuity of functions. The topological characterization of continuity. Weierstrass extreme value theorem. Contraction mapping. Banach fixpoint theorem.
3.3. Scalar product and the induced norm. Hilbert space. Orthonormal and complete set of vectors. Fourier decomposition of a vector with respect to a complete orthonormal set of vectors. Bessel inequality and Parseval identity.
3.4. Convex sets, separation of convex sets and an exterior point and separation of two disjoint convex bodies in finite dimensional Euclidean spaces.
Nyomtatóbarát változat
