Szoboljev-terek sokaságokon: egy sokaság feletti vektornyaláb szeléseiből Álló különböző Szoboljev-terek konstrukciója; Szoboljev beágyazási tétele és a Rellich--Kondrashov kompaktsági tétel.
Elliptikus differenciál-operátorok sokaságokon: egy sokaság feletti differenciál-operátor fogalma; lineáris differenciál-operátor szimbóluma és elliptikusságának definíciója; a Fredholm-operátor fogalma és egy ilyen operátor analitikus indexe; egy kompakt sokaság feletti lineáris elliptikus differenciál-operátor Fredholm; az Atiyah--Singer index-tétel egyik oldala: egy elliptikus operátor analitikus indexe.
A topologikus K-elmélet elemei: egy topologikus tér feletti vektornyalábok félgyűrűje; egy félgyűrű Grothendieck-bővítése és a topologikus tér K-
csoportja; egy elliptikus operátor index-nyalábja; az Atiyah--Singer index-tétel másik oldala: egy elliptikus operátor topologikus indexe; az Atiyah-- Singer index-tétel kimondása: az analitikus és a topologikus indexek egyenlőek.
Számolások: A Dirac- és a Laplace-operátorok indexeinek kiszámolása; különböző deformációs komplexusok indexei, stb.
Az index-tétel hővezetési-egyenletes bizonyításáról: a hővezetési-egyenlet egy Riemann-sokaságon; a hővezetési-egyenlet megoldása hőmag- kifejtéssel; a hőmag hosszúidejű aszimptotikája az analitikus index; a hőmag rövididejű aszimptotikája a topologikus index; a hőmag időfüggetlensége és az index-tétel.