1. Folytonos lineáris leképezések.
Normált terek között ható lineáris leképezés folytonossága. Az operátornorma és a folytonos lineáris leképezések terének tulajdonságai. Minden véges dimenziós téren értelmezett lineáris leképezés folytonos. Véges dimenziós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Borel-Lebesgue-tétel véges dimenziós normált térre.
2. Függvénysorozatok.
Pontonkénti határfüggvény, illetve pontonkénti összegfüggvény. Függvénysor abszolút konvergenciája. Függvénysorozat és függvénysor pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Weierstrass tétele (függvénysorok egyenletes konvergenciájáról). Hatványsorok és a Cauchy-Hadamard-tétel. Függvénysorozat tagonkénti integrálhatósága és differenciálhatósága (valós-valós függvényekre). Diagonalizálható mátrix függvénye. Normális mátrix függvénye.
3. Fourier-sorfejtés.
Fourier-együtthatók és sorfejtés. Integrálható függvény Fourier-együtthatóinak konvergenciája. Kétszer folytonosan differencilható függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez.
4. Komplex függvénytan.
Komplex függvény differenciálhatósága és deriváltja. Cauchy-Riemann-egyenletek. Holomorf, reguláris és harmonikus függvény. Szakaszonként folytonosan differenciálható görbe és folytonos komplex függvény görbementi integrálja. Newton-Leibniz-tétel. Goursat-lemma. Görbe indexfüggvénye. Az indexfüggvény tulajdonságai. Kontúrhomotóp görbék. Egyszeresen összefüggő halmaz. Cauchy integrálformulái. Differenciálható függvény analitikussága és a Taylor-sorfejtés konvergenciasugarának maximalitási tulajdonsága. Megszüntethető szingularitások tétele. Liouville-tétel és az algebra alaptétele. Holomorf függvények gyökeinek tulajdonságai és a gyökök multiplicitása. Lokális maximum elve. Laurent-sorfejtés. Függvény szingularitása, n-ed rendű pólusa és lényeges szingularitása. Reziduum-tétel.
1. Continuous liner maps.
Operator norm and the properties of the space of continuous linear maps. Linear maps with finite dimensional domains are continuous. Norms are equivalent on finite dimensional vector spaces. Borel-Lebesgue theorem for finite dimensional vector spaces.
2. Sequences and series of functions.
Pointwise limit of a sequence or series of functions. Pointwise and uniform convergence of a sequence or series of functions. Absolute convergence of a series of functions. Weierstrass criterion. Power series and Cauchy-Hadamard theorem. Interchanging differentiation and the limit, integration and the limit. Term-by-term differentiability and integrability of a series of functions. Function of diagonalizable matrices, function of normal matrices.
3. Fourier series.
Fourier coefficients, Fourier series. The Fourier series of a twice continuously differentiable periodic function converges uniformly to the function.
4. Theory of complex functions.
Holomorphic functions, harmonic functions, Cauchy-Riemann equations. Piecewise continuously differentiable curves, complex path integrals. Primitive function. Newton-Leibniz theorem. Goursat's lemma. The index of a point with respect to a curve, properties of the index function. Homotopy equivalence of curves. Simply connected sets. Cauchy's integral formulas. Every holomorphic function is analytic. Taylor series expansion, radius of convergence. Riemann's theorem on removable singularities. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Zeroes of holomorphic functions, multiplicity of zeroes. Maximum principle. Laurent series. Poles of holomorphic function: removable, with finite order and essential. Residue theorem.
Nyomtatóbarát változat
